application nilpotente

[invitedf72373e]

Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour une question.
On me demande de montrer qu'une application nilpotente n'est jamais involutive (bijective).
J'imagine qu'il faut prouver qu'une application nilpotente n'est ni surjective ni injective (prouver l'un des deux me suffirait pour dire que l'application n'est pas bijective), mais je ne vois pas par où commencer sachant que je sais seulement qu'une application nilpotente se définit par f^n=0...
Quelqu'un aurait-il une idée (au moins pour démarrer)?
Merci d'avance
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[invite88ef51f0]

Salut,
Que peux-tu dire de la composée de deux bijections ?

[invitedf72373e]

La composée de deux bijection est une bijection. Mais je ne vois pas en quoi ça peut m'aider puisque je veux démontrer que l'application n'est pas bijective...

[invitedf72373e]

Est ce que je peux supposer que f est une bijection,
donc que fof est une bijection,
donc que fofof est une bijection,
....,
donc que f^n est une bijection,
or f^n=0
donc f n'est pas une bijection.

Ca va ça ou pas?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

plus simple : soit u un vecteur de E tel que v=f^n-1(u) est non nul, alors v est dans ker f...