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Un problème de matrice nilpotente



  1. #1
    casserole

    Un problème de matrice nilpotente


    ------

    Bonjour à tous, je suis étudiant en L2 d'informatique et je voudrais avoir quelques informations pour pouvoir résoudre mon exercice.

    Données :

    Soit B la base canonique de telle que

    est la matrice de dans la base , je l'ai calculé :


    Je suis face à une matrice dite nilpotente telle que

    On me demande de calculer et je ne sais pas du tout comment procéder, j'ai pensé à faire mais je ne vois pas comment m'en sortir car ça sent le binôme de Newton.

    Merci de votre aide...

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    Bonjour.

    Oui ça sent bien le binôme de Newton.
    Une condition nécéssaire pour l'utiliser est que les 2 matrices commutent. Or , l'identité commute avec tout le monde donc c'est bon.

    Ensuite, écris les premiers termes du binôme (dans le bon sens (*)), et tu verras qu'au bout de quelques termes (en l'occurence 4 il me semble) , ta nilpotente vaudra 0, donc tu arrêtes de sortir les termes suivants tous nuls.

    (*), tu comprendras en le posant sur le papier lequel est le bon sens pour développer tout ça.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    casserole

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    En fait, je calcule d'abord puis je le multiplie encore par lui même et ainsi de suite jusqu'à ce que je vois que ça ne bouge plus ? Mais en quoi est-ce une preuve que tous les autres termes suivants s'annulent bien eux-aussi ?

  5. #4
    Ledescat

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    Pas du tout.

    Tu utilises le binôme de newton avec la puissance n.



    Si A et D commutent.
    Ecris les premiers termes de cette somme (avec A=-2In et D=-B)
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    casserole

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    J'ai calculé avec n=2;3;4 et à 4 je suis arrivé à ça :



    Je comprends pas bien à quoi ça nous mène de calculer tout ça ? Faut-il faire le 5ème pour voir que ça s'arrête ?

  8. #6
    Ledescat

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    Sais-tu ce que veut dire nilpotent ?
    Regarde ce que vaut B^3.
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    casserole

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    Une matrice nilpotente est une matrice qui vaut zéro à partir d'une certaine puissance , en l'occurence j'ai bien compris que c'était la puissance 3 qu'il l'annulait (j'ai fais une erreur de notation sur le papier c'est pour ça que j'ai pas viré la puissance 3 de ma somme). Ce que je comprends pas c'est comment on peut dire par exemple qu'au membre , on aura de la forme .

  11. #8
    Ledescat

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    Je ne vois vraiment pas ce qui te gêne.
    Tu sais que B^3=0
    Donc B^k est nul dès que k dépasse 3.

    Or


    Tu vois bien qu'à partir du troisième terme, on n'a que des 0^k, donc des 0, et donc la somme se réduit aux 3 premiers termes.
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    casserole

    Re : Un problème de matrice nilpotente

    J'ai compris... Donc l'expression de A^n sont les trois premiers termes du binôme de Newton.

    Oui maintenant ça me saute aux yeux, j'ai du bloquer tout seul.

    Merci beaucoup !

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