Un problème de matrice nilpotente

[invite480b28cd]

Bonjour à tous, je suis étudiant en L2 d'informatique et je voudrais avoir quelques informations pour pouvoir résoudre mon exercice.

Données :

Soit B la base canonique de telle que

est la matrice de dans la base , je l'ai calculé :


Je suis face à une matrice dite nilpotente telle que

On me demande de calculer et je ne sais pas du tout comment procéder, j'ai pensé à faire mais je ne vois pas comment m'en sortir car ça sent le binôme de Newton.

Merci de votre aide...
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[invitec053041c]

Bonjour.

Oui ça sent bien le binôme de Newton.
Une condition nécéssaire pour l'utiliser est que les 2 matrices commutent. Or , l'identité commute avec tout le monde donc c'est bon.

Ensuite, écris les premiers termes du binôme (dans le bon sens (*)), et tu verras qu'au bout de quelques termes (en l'occurence 4 il me semble) , ta nilpotente vaudra 0, donc tu arrêtes de sortir les termes suivants tous nuls.

(*), tu comprendras en le posant sur le papier lequel est le bon sens pour développer tout ça.

[invite480b28cd]

En fait, je calcule d'abord puis je le multiplie encore par lui même et ainsi de suite jusqu'à ce que je vois que ça ne bouge plus ? Mais en quoi est-ce une preuve que tous les autres termes suivants s'annulent bien eux-aussi ?

[invitec053041c]

Pas du tout.

Tu utilises le binôme de newton avec la puissance n.



Si A et D commutent.
Ecris les premiers termes de cette somme (avec A=-2In et D=-B)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite480b28cd]

J'ai calculé avec n=2;3;4 et à 4 je suis arrivé à ça :



Je comprends pas bien à quoi ça nous mène de calculer tout ça ? Faut-il faire le 5ème pour voir que ça s'arrête ?

[invitec053041c]

Sais-tu ce que veut dire nilpotent ?
Regarde ce que vaut B^3.

[invite480b28cd]

Une matrice nilpotente est une matrice qui vaut zéro à partir d'une certaine puissance , en l'occurence j'ai bien compris que c'était la puissance 3 qu'il l'annulait (j'ai fais une erreur de notation sur le papier c'est pour ça que j'ai pas viré la puissance 3 de ma somme). Ce que je comprends pas c'est comment on peut dire par exemple qu'au membre , on aura de la forme .

[invitec053041c]

Je ne vois vraiment pas ce qui te gêne.
Tu sais que B^3=0
Donc B^k est nul dès que k dépasse 3.

Or


Tu vois bien qu'à partir du troisième terme, on n'a que des 0^k, donc des 0, et donc la somme se réduit aux 3 premiers termes.

[invite480b28cd]

J'ai compris... Donc l'expression de A^n sont les trois premiers termes du binôme de Newton.

Oui maintenant ça me saute aux yeux, j'ai du bloquer tout seul.

Merci beaucoup !