Homéomorphisme !

[invitecbade190]

Bonsoir à tous :
Je voudrais savoir pourquoi :
Les ensembles : et sont homeomorphes à
L'ensemble est homeomorphe au cylindre :
Merci infiniment !
-----

[invite769a1844]

Salut Pablo.

Pour 1) A et B c'est la sphère privé d'un point.
Pour l'homéomorphisme avec , utilises l'inversion .

Pour la 2) formellement je vois pas.

[invitea41c27c1]

As-tu fais un dessin pour n=1 ou 2 ?

[invite6b1e2c2e]

Bonsoir à tous :
Je voudrais savoir pourquoi :
Les ensembles : et sont homeomorphes à
L'ensemble est homeomorphe au cylindre :
Merci infiniment !

Salut,

Oui, de fait, c'est très géométrique.

1/ Dans le premier cas, tu regardes la sphère privée d'un point. Pour fixer un peu les choses, considérons que l'on est en dimension 3 et que tu as retiré le point (0,0,1). Tu traces alors le plan z=-1, qui est tangent à la sphère en le point (0,0,-1), n'est ce pas. Alors pour chaque point de la sphère, tu traces la droite qui passe par ce point et le pole (0,0,1). Cette droite coupe ton plan en exactement un point.

Je prétend que cette application te construit un homéomorphisme entre la sphère privée d'un point et l'hyperplan.

NB: Il me semble que c'est d'ailleurs grâce à cette application qu'on définit le compactifié d'alexandrov de , à ne pas confondre avec l'espace projectif . Il n'y a pas le même nombre d'"infinis" dans les deux cas. Seulement un point à l'infini dans le premier contre une infinité dans le deuxième (homéomorphe à je crois).

2/ Là encore, tu le fais géométriquement. Si tu retires deux points diamétralement opposés d'une sphère, tu peux tracer la droite qui passe par ces deux points, un cylindre de direction cette droite et faire sensiblement la même construction que ci-dessus.

__
rvz, homotopie traine-t-il toujours sur ce forum ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

j'ajoute un mot-clef redondant (mais non cité antérieurement) qui me paraît utile à la première question : projection stéréographique.

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Salut Martini,

Ca fait longtemps n'est ce pas ?

Je cherchais également ce mot mais je ne le retrouvais plus, merci pour la précision, effectivement tout à fait pertinente !

__
rvz, ça fait plaisir de retrouver d'anciens compères

[Flyingsquirrel]

Pour 1) A et B c'est la sphère privé d'un point.
Pour l'homéomorphisme avec , utilises l'inversion .

Pour que cette application soit une inversion il faudrait qu'il y ait au numérateur, non ? Mais dans ce cas si l'on restreint son ensemble de définition à on obtient l'identité de dans , ça n'est pas vraiment ce que l'on cherche.

[invite769a1844]

oui j'ai zappé le x au numérateur.

On prend un hyperplan affine ne contenant pas 0 (homéomorphe à ) et l'inversion nous permet de voir que cet hyperplan est homéomorphe à la sphère privé de 0 (c'ets l'hyperplan le domaine de définition).

[inviteccd6539d]

Salut,
Je cherche juste une petite indication pour résoudre ce problème
comment on obtient l'homéomorphisme entre le disque de l'unité et le triangle x>0 et y>0 et x+y-1<0,
Merci.