calcul de l'espérance de la v.a loi logistique.

[inviteb8843a7e]

Salut,

j'aimerai avoir un petit coup de pouce pour le calcul de l'espérance de ma variable aléatoire suivant une loi logistique de moyenne m et d'écart-type s:

f(x)= e^-((x-m)/s) / s.(1+e^-((x-m)/s))²

après mon changement de variable u=(-x-m)/s, j'obtiens:

f(u)= e^(-u) / s.(1+e^-u)²

je calcul donc E(X)=integrale( (vs+m).e^(-u) / s.(1+e^-u)²)du )

sachant qu'une primitive de f est: (1/1+e^(-u)).1/s

je trouve par intégration par partie:

E(X)= [(us+m)/(1+e^(-u)] - s.integrale( 1/ (1+e^-u)du )

en résolvant le 2nd terme d'abord je trouve que (pour le 2nd terme uniquement) :

integrale( 1/ (1+e^-u)du )=integrale( (1+d [ln(1+e^(-u))]/du )
= u + ln(1+e^(-u))

est ce bien ça ??

Merci
-----

[inviteaf1870ed]

Pour moi tu fais au moins deux erreurs :

quand tu fais le changment de variable x-m/s -->u, tu oublies un facteur s, en effet dx=sdu. Le plus simple est de poser d'abord Integrale (xf(x)dx), et de faire le changement de variable ensuite.

Plus grave : quand tu fais ton intégration par parties, tu te retrouves à intégrer du/(1+exp(-u)); la primitive de cette fonction N'EST PAS ln(1+exp(-u)) !
POur trouver la primitive, multiplie en haut et en bas par exp(u)...

[inviteb8843a7e]

Pour le changement de variable, faute d'inattention , puisque celui disparait après dans le calcul de l'espérance. Alors je me reprends à ta façon, à savoir d'abord écrire Integrale (xf(x)dx):

E(X)= Integral ( x. f(x)dx )

= Integral (x. (e^-((x-m)/s) / s.(1+e^-((x-m)/s))² )

après changement de variable: x-m/s=u <=> x=us+m et dx=sdu

J'ai donc:

E(X)=Integral ( ((us+m).e^(-u) / s.(1+e^-u)²))sdu )

et mes deux "s" s'éliminent et je retombe bien sur ma 1er expression

E(X)=Integral ( ((us+m).e^(-u) /(1+e^-u)²))du ).

Pour ta seconde remarque:

la primitive de 1/(1+e^-u) est u+ln(1+e^-u) puisque:

1/(1+e^-u)= (1+ (e^-u) - (e^-u) )/(1+e^-u)
= ( (1+ (e^-u))/ (1+ (e^-u)) ) - (e^-u) )/(1+e^-u)
= 1 + d[ln(1+e^-u)]/du

donc primitive ( 1/(1+e^-u) ) = u+ln(1+e^-u) ! non ??

[inviteaf1870ed]

Oui mes excuses, je n'avais pas vu le terme en u.
En fait tu peux écrire 1/(1+e^-u)=e^u/(1+e^u) et sa primitive est ln(1+e^u), qui est une forme équivalente à ta solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8843a7e]

Ok merci beaucoup,

sinon sans ça, mon calcul de l'espérance est bon, non ?
Je veux dire à la fin, j'ai bien :

E(X)= [(us+m)/(1+e^(-u)] - s.integrale( 1/ (1+e^-u)du )

= [(us+m)/(1+e^(-u)] -s. [u+ln(1+e^-u)]

??

[invite986312212]

(...) le calcul de l'espérance de ma variable aléatoire suivant une loi logistique de moyenne m (...)

donc E(X)=m, non?

[inviteb8843a7e]

Oui ambrosio normalement c'est ce que je suis censé trouvé
puisque par définition la loi logistique est de moyenne m (l'exercice pédagogique ici consiste en fait à calculer explicitement l'espérance de ma variable aléatoire bien que le résultat soit connu à l'avance).

Justement, à ce propos, j'en suis arrivé à :
E(X)=[(us+m)/(1+e^(-u)] -s. [u+ln(1+e^-u)], comme montré dans mon dernier post.,

mais pour aboutir à mon résultat final E(X)=m, dois-je calculer chacun de mes deux termes en prenant la limite aux bornes des intégrales. Pour être sûr que je me suis bien fait comprendre:

dois-je faire par exemple pour le 1er terme:
[ lim (us+m)/(1+e^(-u) qd x--->infini ] - [ lim (us+m)/(1+e^(-u) qd x--->0] ?
et pareil pour le second terme ??

Au passage remarquer que ma variable aléatoire est définie sur [0;+inf].

[invite986312212]

Au passage remarquer que ma variable aléatoire est définie sur [0;+inf].

mmh.. es-tu sûr? pour moi le support de la loi logistique est tout R, mais il y a peut-être plusieurs définitions.

[inviteb8843a7e]

Oui effectivement pardon ambrosio...je disais des bêtises .

Mais sans ça, je dois donc bien calculer les limites en + et - l'infini de mes 2 termes, c'est bien ça ??

[inviteaf1870ed]

Je trouve limite en +inf = m; limite en -inf = 0

[inviteb8843a7e]

Merci beaucoup ericcc pour la confirmation,

je vais voir de mon côté ce que je trouve maintenant que le calcul a l'air d'avoir été fait correctement jusqu'à maintenant.

[invite986312212]

autrement en faisant le changement de variable que tu as fait (juste pour simplifier) tu vois qu'il faut montrer que la moyenne de la loi logistique standard (celle de densité ) est nulle, et ça tu peux le voir si tu remarques que cette densité est symétrique (je sais ça surprend, il faut faire le calcul...)

[inviteb8843a7e]

J'ai compris "textuellement" ce que tu as dit ambrosio, à savoir que si je considère ma nouvelle variable aléatoire créee "u", celle-ci est logiquement centré sur zéro...mais je ne vois pas où tu veux en venir avec ta dernière remarque ambrosio ???

[invite986312212]

puisque f(x)=f(-x) la moyenne est nécessairement zéro.

[inviteb8843a7e]

puisque f(x)=f(-x) la moyenne est nécessairement zéro.

ok

Merci à tous pour cette discussion...