Extremum dans une suite recurrente

[inviteb4dd7ccf]

Bonjour a tous,

et merci d'avance de l'aide que vous pourriez m'apporter.

je travaille sur des filtres numériques d'ordre 2 qui peuvent se mettre sous forme d'une équation récurrente :

x(k) = B0 u(k-1) + B1 u(k-2) + B2 u(k-3) - a1 x(k-1) - a2 x(k-2)

u(k) étant l'entrée du filtre, borné par +/-U
x(k) étant la sortie du filtre
je considère la suite récurrente convergente (contrainte sur a1 et a2)

ma question est :
est-il possible de connaitre les valeurs extrêmes que x(k) peut atteindre sachant que u(k) est borné ?
et si oui, comment

j'ai commencé par essayer de résoudre le problème en disant qu'il suffisait de construire la suite des u(k) tel que le nouveau terme ajouté u(k-1) soit maximal (+U ou -U) et du même signe que le reste des termes.

concrètement, cela revient à éliminer le terme x(k-1) :

x(k-1) = B0 u(k-2) + B1 u(k-3) + B2 u(k-4) - a1 x(k-2) - a2 x(k-3)

donc x(k) devient :

x(k) = B0 u(k-1) + (B1-a1 B0) u(k-2) + (B2-a1 B1) u(k-3) - a1 B2 u(k-4) + (a1^2-a2) x(k-2) + a1 a2 x(k-3)

puis je construis la suite u(k) tel que :

s = sign(B0 u(k-1)) = sign( (B1-a1 B0) u(k-2) + (B2-a1 B1) u(k-3) - a1 B2 u(k-4) + (a1^2-a2) x(k-2) + a1 a2 x(k-3) )
et u(k) = s U

clairement, cette démarche doit être incorrecte.
car avec une simple simulation, un signal u(k) aléatoire (mais toujours borné +/-U) donne des valeurs x(k) plus grande qu'avec ma méthode...

si quelqu'un a une idée.....

cordialement
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[inviteaf1870ed]

Je ne sais pas si cela t'aidera, mais voilà ce que je ferai : ta suite Xk est une suite récurrente d'ordre 2, avec des termes d'interférences bornés.
Je l'écrirai sous la forme
X(k)=A-aX(k-1)-bX(k-2), en regroupant tous les termes en U sous une constante
Alors Xk-Xk-1 est une suite récurrente d'ordre 2 classique, que l'on peut exprimer en fonction de a,b et de X0 et X1.
Tu en déduis Xk en fonction de A, et tu cherches l'extremum en faisant varier A

[invite6b1e2c2e]

Bonjour a tous,

et merci d'avance de l'aide que vous pourriez m'apporter.

je travaille sur des filtres numériques d'ordre 2 qui peuvent se mettre sous forme d'une équation récurrente :

x(k) = B0 u(k-1) + B1 u(k-2) + B2 u(k-3) - a1 x(k-1) - a2 x(k-2)

u(k) étant l'entrée du filtre, borné par +/-U
x(k) étant la sortie du filtre
je considère la suite récurrente convergente (contrainte sur a1 et a2)

ma question est :
est-il possible de connaitre les valeurs extrêmes que x(k) peut atteindre sachant que u(k) est borné ?
et si oui, comment

Salut,

Je ne sais pas quel est ton niveau, mais tu peux étudier dans un premier temps le problème

où A est une matrice carrée n*n et B une matrice rectangulaire n*p, x est une fonction du temps à valeurs dans R^n, et u une fonction du temps à valeurs dans R^p.

Je formule alors le problème suivant: Peut on avoir des estimées sur x à partir d'estimées sur u ?

Et je prétends que la réponse est oui, par exemple en utilisant la formule de Duhamel (je te laisse faire ça) qui te permet de résoudre ton équation en fonction du terme source Bu.

Similairement, dans ton problème, tu peux écrire une formule de type Duhamel (temps discret) et en déduire des estimées sur x....

Cordialement,
__
rvz

[inviteb4dd7ccf]

merci pour vos 2 réponses, elles m'ont aiguillées vers (je pense) la solution :

je peux décrire la fonction x(k) autrement que par une relation de récurrence mais sous la forme d'une somme :

x(k) = SUM de n=1 à (k-1) de [P(k-n) u(n)]

ou P(k-n) dépend de a1 et a2

l'extremum de x(k) devient alors simplement :

MAX(x(k)) = SUM de n=1 à (k-1) de [abs(P(k-n) U) ]

je vais tester cela de ce pas

merci a vous.

cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Exactement ! Bravo !

__
rvz