rotationnel et divergence en coordonnées cylindrique et sphérique

[lamiss09]

salut tt le monde
j'éspere que tout le monde va bien!
En faite j'ai quelques problemes sur le rotationnel en coordonnées cylindrique et sphérique et je serai reconnaissant si on m'aide a mieu comprendre.
J'ai fait une petite recherche sur ce sujet mais j'ai pa trouvé exactement ce que j'ai cherché, je trouve toujours la formule du rotationnel sans montrer comment on a trouvé ce résultat et c'est ce qui me gene ,
je peux comprenre la formule du rotationnel en coordonnées cartésiennes mais j'arrive pas à comprendre comment on l'a calculer en coordonnées cylindrique et sphérique
J'attends votre aide et merci d'avance .
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[isozv]

Bonjour

Tu as les démos détaillées ici:

http://www.sciences.ch/htmlfr/algebr...lchampvecteurs

[lamiss09]

merci isozv

[lapuyade]

Bonjour, pour calculer la divergence et le rotationnel en coordonnées cylindriques et sphériques, n'essayez surtout pas de faire des changements de variable du style d/dr=dx/dr *d/dx+dy/dr*d/dy+dz/dr*d/dz car les calculs risquent d'être laborieux et fort risque d'erreur.
Il existe par contre des formules intrinsèques comme pour le gradient, d'ailleurs la divergence et le rotationnel sont définis au travers de ces formules intrinsèques. Je vais utiliser des notations physiciennes (mais si je les déteste car peu rigoureuses) afin de vous les énoncer:
1) Pour le gradient grad f.dl=df, où df=(df/dt1)*dt1+(df/dt2)*dt2+(df/dt3)*dt3, où t1,t2,t3 représentent les trois paramètres (différents selon le cas: cartésien, cylindrique ou sphérique) et dl=dt1*(d/dt1)+dt2*(d/dt2)+dt3*(d/dt3), où d/dti sont les vecteurs NON NORMALISES.
En guise d'exemple, coord cylindriques: x=r*cos(t), y=r*sin(t) et z=z, on a d/dr=cos(t)*ux+sin(t)*uy (vous devinez comment sont calculés les vecteurs non normalisés), d/dt=-r*sin(t)*ux+r*cos(t)*uy et d/dz=uz, les vecteurs normalisés sont alors ur=cos(t)*ux+sin(t)*uy, ut=-sin(t)*ux+cos(t)*uy et uz=uz. De grad f=(gradr f)*ur+(gradt f)*ut+(gradz f)*uz=(gradr f)*(d/dr)+((gradt f)/r)*(d/dt)+(gradz f)*(d/dz) et applicant le produit scalaire, on a grad f.dl=(gradr f)*dr+r*(gradt f)*dt+(gradz f)*dz, identifiant avec df, on trouve: grad f=(df/dr)*ur+(1/r)*(df/dt)*ut+(df/dz)*uz.
2) Pour la divergence, c'est la formule de Green-Ostrogradsky: (div V) w=d(V.dS), où w est la forme volume, V.dS est le produit scalaire avec la forme surface, d est la dérivée extérieure. En coordonnées cylindriques: w=r dr^dt^dz, rq: r figurant devant dr^dt^dz correspond à la racine carrée du déterminant de la matrice du produit scalaire des vecteurs de base non normalisés. V.dS=r(V'r dt^dz+V't dz^dr+V'z dr^dt), où (V'r,V't,V'z coord dans la base NON NORMALISEE) (rq, pour ne pas se tromper: V.dS s'obtient à partir de w en remplacant dr par V'r, dt par V't et dz par V'z et en n'oubliant pas que ^ est un produit extérieur, dxi1^dxi2^...^dxin=epsilon* dx1^dx2^...^dxn, où epsilon est la signature de la permutation), on obtient alors d(V.dS)=(r*(dV'r/dr)+Vr+r*(dV't/dt)+r*(dV'z/dz))*dr^dt^dz puis identifier avec (div V)w pour obtenir la divergence dans la base NON NORMALISEE. Pour l'obtenir dans la base normalisée, exprimer les V'i en fonction des Vi et à vous de jouer.
3) Pour le rotationnel, la formule intrinsèque est: rot V.dS=d(V.dl), je ne détaille pas, je pense que vous devriez normalement savoir le faire avec les explications ci-dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]