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Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier



  1. #1
    Zenol

    Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier


    ------

    Bonjour,

    Je me doute que beaucoup d'entre vous vont trouver ma question trivial, mais cela fait bientôt deux jours que je réfléchis au problème et que toute les pistes que je suis sont infructueuse.

    Je cherche a démontrer que n'est pas entière pour

    J'ai d'abord penser que cette somme était majorer, avant de me rendre compte que sa limite en est justement Mon but était de l'encadrer entre deux entiers successifs.

    Par la suite, j'ai penser a m'intéresser a et l'encadrer entre deux entier successif(J'y tien a mon idée). Je n'ai malheureusement réussis qu'a l'encadrer par ce qui ne constitue pas deux entiers successif ( :/)

    Avant ca, j'étais partie sur une autre idée :
    Si n'est pas entière, elle est rationnelle. Mon but était de prouver qu'elle est a tous les rang n.
    Un rationelle, c'est un nombre de la forme.

    est vraie.
    Mais ensuite, chercher a démontrer que ma fait écrire des choses plutôt douteuse si bien que j'ai eu l'impression de m'égarer...

    Bref, si vous pouviez juste me souffler un petit indice, pour m'indiquer la direction a prendre, ca m'aiderais beaucoup :$

    -----

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  3. #2
    -Zweig-

    Re : Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier

    Salut,

    Les premiers calculs nous suggèrent de considérer sous la forme avec et des entiers naturels respectivement pairs et impairs. Montrons-le par récurrence.

    i) Montre qu'il existe des naturels et , avec impair, tel que pour tout naturel .

    ii) En déduire que n'est entier pour aucune valeur de .

    iii) Trouve une relation similaire pour et conclus.
    Dernière modification par -Zweig- ; 11/10/2009 à 13h07.
    L’homme n’est ni ange ni bête, et le malheur veut que qui veut faire l’ange fait la bête.

  4. #3
    -Zweig-

    Re : Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier

    Désolé, c'est le contraire : pair en "bas" et impair "en haut".
    L’homme n’est ni ange ni bête, et le malheur veut que qui veut faire l’ange fait la bête.

  5. #4
    Zenol

    Re : Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier

    Merci de ta réponse, malheureusement je n'ai pas tout compris...
    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Salut,

    Les premiers calculs nous suggèrent de considérer sous la forme avec et des entiers naturels respectivement pairs et impairs. Montrons-le par récurrence.
    Ok, jusque la je te suis. Si p_n est impaire et q_n paire, ils sont premier entre eux et la fraction est irréductible. Ce n'est pas non plus un entier puisque

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    i) Montre qu'il existe des naturels et , avec impair, tel que pour tout naturel .
    Heu, je ne comprend pas pourquoi mais d'accord, imaginons que je suis arriver a le prouver.


    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    ii) En déduire que n'est entier pour aucune valeur de .
    Pourquoi? Qu'est ce qui prouve que n'est pas entier??


    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    iii) Trouve une relation similaire pour et conclus.
    La non plus je ne vois pas...

  6. #5
    God's Breath

    Re : Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier

    Pour ( est un entier), on considère la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à . On la note . Tout multiple strict de est supérieur à .

    Dans , est la seule fraction dont le dénominateur soit divisible par . La somme des autres fractions va, après réduction au même dénominateur, se mettre sous la forme avec impair.

    Par suite et le numérateur est impair, donc la fraction ne peut pas se simplifier en un entier.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Zenol

    Re : Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Pour ( est un entier), on considère la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à . On la note . Tout multiple strict de est supérieur à .

    Dans , est la seule fraction dont le dénominateur soit divisible par . La somme des autres fractions va, après réduction au même dénominateur, se mettre sous la forme avec impair.

    Par suite et le numérateur est impair, donc la fraction ne peut pas se simplifier en un entier.
    ? ce ne serais pas plutot () ?

    En tout cas c'est une démonstrations très ingénieuse. Un peut trop en fait. Je ne pense pas qu'un demandais quelque chose dans le genre lors du premier TD d'algèbre de MI ...

    Zweig tu pourrais tu m'expliquer pourquoi tu souhaite passer par S2n silteplait?

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  10. #7
    God's Breath

    Re : Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier

    Le dénominateur commun est le ppcm des dénominateurs qui interviennent dans l'addition : on n'a pas besoin de répéter les puissances de 2, qui a le plus grand exposant suffit amplement.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #8
    Zenol

    Re : Demonstration par recurence : Un+1 = Un + 1/(n+1) n'est pas entier

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Le dénominateur commun est le ppcm des dénominateurs qui interviennent dans l'addition : on n'a pas besoin de répéter les puissances de 2, qui a le plus grand exposant suffit amplement.
    C'est pas faux, mais loin d'être évident pour moi :/
    Mon au pire je demanderais la correction au prof qui gère le TD comment il comptais le prouver (Avec le peut que l'on a vus en cours), mais j'aurais bien aimer comprendre :/ Surtout que je suis sensé avoir des exos encore plus difficile sous la main...

    Merci quand même pour votre aide.

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