Factorisation LU

invited82a1853 · 13/05/2005, 00h36

Bonjour,

Voilà j'ai un problème avec un exercice de maths :

On a la matrice A suivante :

$\text{[math]}$

La question est : Effectuer la réduction de Gauss sur A et en déduire sa factorisation LU.

Avec une matrice carrée je vois comment on fait, en gros on modifie A avec des transformations élémentaires et on obtient une matrice semblable à A qui est triangulaire supérieure. Ensuite on forme la matrice triangulaire inférieure avec que des 1 sur la diagonale, et qui contient les coefficients utilisés dans la première étape. La première matrice est U et la seconde est L, on a notre décomposition LU. Mais comment fait-on lorsque la matrice n'est pas carrée ??

Merci.

invitedf667161 · 13/05/2005, 11h35

Tiens en voilà une bonne question...
J'ai jamais vu de factorisation LU sur les matrices pas carrés.
Il faudrait reprendre la demonstration du théorème LU et regarder si ça s'adapte au cas des pas carrés.

**invite4793db90** · 13/05/2005, 11h47

Salut,

je ne vois pas pourquoi la même méthode ne s'appliquerait pas pour des matrices nxp: tu obtiens la matrice U avec Gauss et L est la matrice 5x5 des coefficients, non?

Cordialement.

inviteab2b41c6 · 13/05/2005, 12h00

Mais la question que je me pose est:
Comment définir des matrices L et U dans un tel cas?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invited82a1853 · 13/05/2005, 12h05

On aurait donc, U de la forme :

$\text{[math]}$

et L de la forme :

$\text{[math]}$

Avec les $\text{[math]}$ égaux aux coefficients.

C'est bien ça ??

invited82a1853 · 13/05/2005, 12h08

Envoyé par Quinto

Mais la question que je me pose est:
Comment définir des matrices L et U dans un tel cas?

Justement c'est mon problème. Je ne suis pas certain de savoir à quoi correspond une matrice triangulaire supérieure lorsqu'elle n'est pas carrée (le cours porte sur les endomorphismes, on utilise très rarement des matrices non carrées). J'ai proposé quelque chose dans mon précédent message. Peut-être que c'est ça, tout simplement...

**invite4793db90** · 13/05/2005, 12h11

Après calculs:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

En espérant ne pas avoir commis d'erreurs de calcul...

invited82a1853 · 13/05/2005, 12h13

Ok merci beaucoup.

Je vais le faire pour voir si j'arrive à retrouver la même chose mais normalement ça devrait aller maintenant.

invite9c347432 · 16/05/2005, 15h43

Bonjour;
comment vous avez fait pour touver les coefficients de la matrice U
merci.

**invite4793db90** · 16/05/2005, 15h50

Bonjour et bienvenue!

La matrice U s'obtient par la méthode du pivot de Gauss: fait une recherche à ce sujet sur le forum. Si tu as des questions, n'hésite pas à les poser.

Cordialement.

invite9c347432 · 16/05/2005, 17h15

merci pour la reponse . j'ai trouvé le resultat par la methode de Gauss, maintenant comment faire pour trouver les coefficients de la matrice L
merci beaucoup..

**invite4793db90** · 16/05/2005, 18h04

La matrice L code les transformations effectuées sur les lignes de la matrice A.

Concrètement, j'écris mes transformations (L'₂=L₂-3L₁, etc.), je prends la matrice identité et j'applique les transformations inverses en partant de la fin...

Bon courage.

invite9c347432 · 16/05/2005, 20h34

Ok merci beaucoup.

Factorisation LU