idées de preuves sur les distributions

[invite1883c266]

slt,
la notion de distributions est assez compliquée
j'essaie de prouver 2 propriétés des distributions:
1 la distribution a une dérivée nulle si et seulement si elle est constante:
2 la dérivée d'un distribution paire (resp impaire) est impaire (resp (paire)

voila, il y une chose qui ma tracasse. Je ne sais aps sur quoi m'appuyer étant donné que le prof a utilisé la distribution intégrale pour nous montrer la définition. Mais la preuve dans la cas générale ? quelle distribution prendre ? aucune?

Pour le 1:
soit T une distribution:
si T'=0 alors <T',fi> = - < T, fi '> = fi ?
si T est cste?

Pour le 2:
paire si T(-x) = T(x)
impaire si T(x) = - T(x)
je suis passé par la distribution intégrale .. mais c'est un cas praticulier et je n'ai pas abouti d'ailleurs ou alors ce n'est pas juste/rigoureux

Sinon j'aimerais votre avis sur cela :
est-ce une distribution?
en gros j'ai suivi ce qu'on a fait :
c'est linéaire (évident je crois )
pour la continuité j'ai dit que :quelque soit qu doit tendre vers 0 ,on a et en incorporant l'intégrale telle que on a ne relation entre fi_m^(n) et fi_m^(n-1), puis par recurence , on arrive a un terme contenant fi_m qui tends vers 0 et je remonte dans les dérivés pour arrivé a que la somme tende vers 0 car chacune des intégrale successive tend vers 0 ou un truc du genre
puis je dis que c'est continue
je ne sais pas si je suis claire ..je ne sais pas si cette méthode est bonne car cela ressemble plus a du bidouillage
merci
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[invite5f67e63a]

Bonjourn
Pour le 1 j'ai rien compris a ta preuve, la démo n'est pas tres compliqué elle est assez typique de la façon dont il faut raisonner avec des distributions.

Soit T telle que T'=0, alors <T',f>=-<T,f'>=0, donc des que tu applique T contre ue fonction qui soit la dérivée d'une fonction test, ca donne zéro. UNe fonction est dérivée d'une fonction test ssi son intégrale est nule (facile a voir et a prouver).
donc prends g une fonction test d'intégrale 1, soit f une fonction test quelconque et j'appelle c son intégrale.
On a cg-f est d'intégrale nulle, donc <T,cg-f>=0, donc <T,f>=<T,g>c=integrale de <T,g>f(t) dt.
Donc T est constante et vaut <T,g> ou g est n'importe quel fonction test d'integrale 1.
Bon j'ai bien détaillé...

Pour le reste...je dois t'avouer que je ne me rappelle plus ce que signifie paire et impaire pour un distribution...

[invite1883c266]

merci pour la demo en fait pour le 1 je n'ai mis juste que l'énoncé car je ne voyais pas comment faire sans intégrale . Donc visiblement l'idée c'est justement d'utiliser les intégrales