Idée de géométrie

[invite6b1a864b]

Bonjour,

Je cherchais il y a pas longtemps une fonction pour calculer la distance moyenne d'un groupe quelquonque de points. Les contraintes était les suivantes :
- Invariable par translation de l'ensemble
- Invariable par rotation de l'ensemble
- Invariable par permutation des points..
- Proportionnel lors d'une homothétie..


J'ai trouvé la fonction suivante : soit u(1..n) les points

f(u) = somme(i=1..n, j=1..n, dist(u(i)-u(j)))/somme(i=1..n, j=1..n,abs(i-j))

Pour une suite 1,2,3, 4 par exemple, ça donne 1.. etc (ça marche aussi en plusieurs dimensions avec les distances euclidiennes)

Jusqu'ici rien de spécial.. Mais je me demande si on ne pourra pas utilisé cette fonction simple pour regroupé les points selon leur proximité..
Imaginons qu'on prenne l'ensemble U est qu'on cherche une partition qui minimise la moyenne des distances moyennes de chacun des parties.
Par exemple :
1,2,3,5,6,7 donnerait
(1,2,3) avec une distance moyenne de 1 et
(5,6,7) avec une distance de 1,
donc une moyenne global de 1. Impossible de faire mieux (il me semble) !!!

La question que je me pose, c'est est-ce que cette méthode ne permettrait pas de faire un lien entre géométrie et symétries.. ?
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[Médiat]

En faisant une recherche sur le net de "Cluster analysis" ou même "cluster analysis" + "euclidean distance" vous trouverez des milliers de références (150 000 ) sur ce sujet.

[invite986312212]

Imaginons qu'on prenne l'ensemble U est qu'on cherche une partition qui minimise la moyenne des distances moyennes de chacun des parties.

ça peut se faire, mais ça se passe mieux quand on prend la somme des carrés des distances (c'est en relation avec le théorème d'Huygens sur la décomposition de l'inertie )

Par exemple :
1,2,3,5,6,7 donnerait
(1,2,3) avec une distance moyenne de 1 et
(5,6,7) avec une distance de 1,
donc une moyenne global de 1. Impossible de faire mieux (il me semble) !!!

mais aussi (1) (2) (3) (4) (5) (6) : distance moyenne de 0, ce qui montre qu'il faut fixer le nombre de groupes.

[invite6b1a864b]

ça peut se faire, mais ça se passe mieux quand on prend la somme des carrés des distances (c'est en relation avec le théorème d'Huygens sur la décomposition de l'inertie )

mais aussi (1) (2) (3) (4) (5) (6) : distance moyenne de 0, ce qui montre qu'il faut fixer le nombre de groupes.

Vous avez raison, j'aurais du préciser que les groupes de 1 ne comptaient pas..

Mon idée n'est pas la décomposition en groupe, mais l'idée que les répartitions de point qui présente des symétries particulières doivent avoir des partitions et des distances moyennes particulières..
C'est surtout le lien entre la géométrie et ce type d'analyse qui m'interesse..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1a864b]

ça peut se faire, mais ça se passe mieux quand on prend la somme des carrés des distances (c'est en relation avec le théorème d'Huygens sur la décomposition de l'inertie )



mais aussi (1) (2) (3) (4) (5) (6) : distance moyenne de 0, ce qui montre qu'il faut fixer le nombre de groupes.

Merci mais si je prend les carrées des distances la fonction n'est pas proportionnels par homotéthie.

avec les distances, ma fonction :
(1,2,3) donne 1
(2,4,6) donne 2

avec le carré, on a :
(1,2,3) donne 1,5
(2,4,6) donne 6

Je viens pas vous parler de l'écart type, mais d'une fonction que j'ai cherché pour respecter des symétries..

[invite6b1a864b]

pour être précis mon idée c'est que si,

quand on ajoute un point, on établie en fonction de la position ou on le place, quelles est l'impact sur les "regroupements", on a un moyen d'identifier les symétries, quelque soit le nombre de point au départ.. Les conditions limites entre les différents regroupement au final devrait être des figures particulières.