exercice sur la théorie des anneaux '(la solution?)

[invite27900445]

salut a tout le monde j'ai un petit exercice a résoudre: Soit A un anneux intégre et I un idéal de typs fini et p un élément de A ne divise pas 0 tel que: I = pI montrer que I = (0) . j'attend votre solutions et merci .
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[invite986312212]

plutôt que "p ne divise pas 0" ce serait pas plutôt "p non inversible" ?

autrement un conseil pour ce genre de problème si tu n'as pas d'idée: regarde ce que ça donne pour un anneau que tu connais bien (comme Z) et essaie d'adapter la démonstration au cas général.

[invite7cf0b55f]

je crois que par contradiction cela doit être bon
Si I=pI alors (ici je suppose I=aK+bJ car type fini, ici je n'écris que deux termes pour simplifier) 0=pak+pbj=p(ak+bj) or cela est une contradiction avec le fait que p ne divise pas zero.
d'ou le résultat

[invite986312212]

on pourrait avoir ak+bj=0
par ailleurs p=1 ne divise pas 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7cf0b55f]

on exclu 1, car si 1 appartient à l'ideal alors l'ideal est l'anneau entier.

[invite986312212]

mais l'énoncé ne dit ni que I est différent de A ni que p est dans I

[invite7cf0b55f]

je n'utilise pas que p est dans I, mais l'hypothèse que I=pI or 0 appartient à I donc je peux écrire 0=pak+pbj

[God's Breath]

je n'utilise pas que p est dans I, mais l'hypothèse que I=pI or 0 appartient à I donc je peux écrire 0=pak+pbj

Ouil, mais ce n'est qu'une écriture déguisée de 0=p.0
Je ne vois pas comment obtenir que ak+bj est non nul...

[invite7cf0b55f]

oui, tu as raison avec le fait que qu'il faut démontrer que ak+bj est non nul

[invite986312212]

je ferais comme ça:

1) dans Z pour se faire la main: si I est un idéal non nul de Z il a un plus petit élément positif, disons q. alors (en supposant p positif) pq est le plus petit élément de pI et donc si p>1 pI ne peut être égal à I (si p<0 on prend -pq)

2) dans le cas général, on n'a pas de plus petit élément positif, mais en remarquant que "plus petit élément" correspond à "plus grand idéal", on va chercher un idéal principal maximal de I, en supposant I non nul. Il en existe un par Zorn (je pense que l'hypothèse I de type fini ne sert pas), soit (q). si I=pI on a q=px avec x dans I et (q) est inclus dans (x) et donc par la maximalité de (q) on a (q)=(x) et par suite q=ax où a est une unité de A et donc p est inversible.

[invite986312212]

eh bien ce qui est écrit ci-dessus est totalement faux: le lemme de Zorn est puissant mais pas au point d'affirmer que tout ensemble ordonné a un élément maximal! je copierai 100 fois "j'élucubre, tu élucubres, il élucubre..."

[invite27900445]

salut a tout le monde merci pour votre proposition. je pense que cette exercice et mal posser ppour vérifie ca if faut chercher un exemple d'idéal de typs fini avec I=pI et p non diviseur de zero et I non nul

[invite986312212]

A=Z I=(2) p=1

[invite27900445]

p doit étre diférents de 1 pour que I=pI a un sens