problème (continuité)

[invitec6c4da18]

bonjour,
j'essaie de résoudre un problème en math.
voici l'énoncé:
soit f une fonction continue définie de lR dans lR telle que:
∀(x,y) ∈ ℝ² , |f(x)-f(y)|≥|x-y|
1. f est elle injective? (oui)
2.on suppose que f n'est pas strictement monotone, et on considère x,y,z,t tels que:y>x,t>z,f(y)>f(x) et f(t)<f(z)
En considérant la fonction φ défnie par:
φ(s)= f(y+s(t-y)-f(x+s(z-x)).
Montrer que f n'est pas injective. conclure. ( f est strictement monotone)
3.montrer que f est non bornée sur ℝ et qu'elleest bijective. (facile)
4.on suppose dans cette question qu'ile existe un segment [a,b] de ℝ tel que:
f([a,b])=[a,b].
4.1. Montrer que f admet un point fixe dans [a,b]. (fait)
4.2. on suppose f croissante. peut-on avoir f(a)>a ou f(b)<b? determiner la restriction de f à [a,b]. (il parait un peu banal mais j'ai encore des doutes. je ne comprends pas bien la question. aidez-moi!).
4.3. On suppose f décroissante. determiner la restriction de f à [a,b].
(indication: on pourra poser g(x)=a+b-x)
5.On suppose désormais que f est croissante.
5.1. montrer que si pour tout x de ℝ on a f(x)<x, alors la courbe représentative Γ de f admet quand x→+∞ une asymptote prallèle à la droite d'équation y=x.
5.2. que dire dela courbe Γ si pour tout x de ℝ on a f(x)>x?
5.3. On considère l'ensemble des points fixes de f
U={x∈ ℝ|f(x)=x}.
5.3.1. montrer que si U est vide, on se retrouve dans le cas 5.1. ou le cas 5.2.
5.3.2 montrer que si U est non vide et borné, alors U est un ségment.
5.3.3 que peut être la nature de U s'il n'est pas borné?
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[mimo13]

Un peu de politesse c'est bien pour commencer une discussion.

(je me force à répondre cette fois)

Pour ton 4.2 suppose que et utilise la relation donnée au début de l'exercice tu verra que c'est impossible.
De plus tu as d'ou
En réitérant la même opération pour tout réel de on peut conclure que la restriction de à n'est autre que l'identité de .

Cordialement

[invitec6c4da18]

merci à vous. c clair maintenant.
pour la 5e question j'essaie de calculer la limite de f(x)-x mais ça donne rien.
merci d'avance

[MMu]

5.1) Pour tu montres que , et ensuite .
Montre que a une limite à . Je te laisse déduire l'asymptote à .
5.2) Soit . Montre que satisfait aux conditions du point 5.1 et déduis ensuite l'asymptote de à .
5.3.1) Je te laisse raisonner par l'absurde , en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
5.3.2) Utilise le fait (après l'avoir montré) que est croissante .
5.3.3) trivial

[A voir en vidéo sur Futura]