Nombre de décimales correctes dans un estimation du nombre pi

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me suis penché sur quelques formules concernant pi, et j'ai essayé de retrouver les premières décimales de pi en les utilisant. J'ai par exemple utilisé :



On peut alors voir que la seconde expression est bien plus utile que la première, puisque pour 10 000 itérations, on trouve pour la première (trois décimales correctes) alors que pour la seconde expression on obtient dès 1000 itérations (huit décimales correctes).

J'aimerais savoir s'il y avait un moyen pour connaître à l'avance le nombre de décimales correctes que l'on obtiendrait pour un certain nombre d'itérations. Je pense que cela fonctionnerait en majorant par une puissance de 10, mais j'aimerais savoir s'il y a un autre moyen.

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitec317278e]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Crit%C3...altern%C3%A9es
tu peux lire cette page.

une chose est cependant bizarre : tu devrais, au bout de 1000itérations, avoir beaucoup plus de chiffres corrects pour la deuxième, je me demande donc si le procédé que tu as utilisé ne comporte pas des erreurs d'arrondis. Je me demande d'ailleurs aussi si la deuxième converge bien vers pi...

La majoration du reste (c'est dans le lien plus haut) donne bien, pour la première, le résultat attendu.

[invitec317278e]

bon, effectivement, la deuxième converge aussi vers la valeur indiquée, et dans ce cas, il est clair qu'il y a une erreur dans ton arrondi, puisqu'en théorie, au vu du 3^n au dénominateur, tu devrais gagner au moins de l'ordre d'une décimale toutes les 3 itérations.

[invitea3eb043e]

bon, effectivement, la deuxième converge aussi vers la valeur indiquée, et dans ce cas, il est clair qu'il y a une erreur dans ton arrondi, puisqu'en théorie, au vu du 3^n au dénominateur, tu devrais gagner au moins de l'ordre d'une décimale toutes les 3 itérations.

C'est exact. Pour ceux qui ne l'auraient pas vu, il s'agit des développements de Arctg(1) et Arc tg(racine(3)), le second bien meilleur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Merci pour vos réponses

Pour ceux qui ne l'auraient pas vu, il s'agit des développements de Arctg(1) et Arc tg(racine(3))

Plutôt il me semble.

[invitea3eb043e]

Merci pour vos réponses



Plutôt il me semble.

Tout à fait exact, merci.

[invite4ef352d8]

Salut !

tes séries vérifie le critère des séries alterné : leur terme général est décroissant (en valeur absolue) et son signe est (-1)^n dans cette situation on à un résultat très utile :

la limite L de la somme est toujour comprise en Sn et S(n-1)

(ou Sn désigne la Somme des n premier terme)

du coup, cela deux information importante :
1) tu sais combien de décimal son corecte juste en regardant combien de décimal coincident entre Sn et S(n-1)
2) l'ecart entre Pi est la limite après avoir sommé n terme va toujour être de l'ordre de an ou a(n+1)

ie, apres avoir sommé 1000 terme la premier methode te donne une erreur d'environ 1/2000 soit 3 décimal corecte, la deuxieme de l'autre de 1/3^1000/2000 ie vraiment beaucoup (plus de 500 décimal corecte je dirais... si tu en as qu'une dizaine c'est juste parceque le logiciel que tu as utilisé ne calculais que sur 10 décimal, tu aura eu la même précision avec seulement 20 ou 30 terme de la série...)