Formule de Vermonde DEMO

[invite312411b9]

Bonjour à tous.
J'aurais voulu savoir si l'un d'entre vous connaîtrait une démonstration de la formule de Vermonde autre que celle du MSFA (livre de maths prépa HEC), qui passe par un baptême (avec des parties d'un ensemble de n1+n2 éléments etc).
La formule de vermonde étant la suivante :
(SOMME de k=0 à n (k parmi n)^2) = (n parmi 2n)

Merci. Je sais qu'il existe une démonstration passant par :
(1+x)^2n = (1+x)^n . (1+x)^n et binôme de Newton + identification des termes de plus haut degré. C'est cette démo que je cherche.

A bientôt.
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[Flyingsquirrel]

Salut

Je sais qu'il existe une démonstration passant par :
(1+x)^2n = (1+x)^n . (1+x)^n et binôme de Newton + identification des termes de plus haut degré. C'est cette démo que je cherche.

Ce n'est pas le terme de plus haut degré qui est intéressant mais celui de degré : dans le membre de gauche son coefficient est . Dans le membre de droite par contre il faut faire quelques calculs pour le trouver. D'après la formule du binôme on a

donc le coefficient de correspond à la somme des termes avec et , autrement dit il s'agit de . Comme on a et, par identification, on en déduit l'égalité attendue :

[invite312411b9]

Merci beaucoup c'est ce que je voulais.
A bientôt.

[invitebe08d051]

Ce n'est pas le terme de plus haut degré qui est intéressant mais celui de degré

Pas autant que ça , on peut prouver l'identité en à l'aide du terme de plus haut degré ().

Il suffit de dériver de deux façons différentes:

La première est évidente, il ne restera que le coefficient dominant qui est
La deuxième en passant par la formule de Liebniz, on trouve (sauf erreur)
(Je peut détailler les calculs si c'est nécessaire )

On trouve la formule souhaitée en égalisant.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]