Complexe-equation

[invite69cad21c]

Bonsoir,

J'ai un petit exercice type exam que je ne comprend pas trop... le voici:

1)a) Montrer que l'équation Z^3-(5-2i)Z²+2(7+i)Z-4(4+3i)=0 possède une solution réelle qu'on déterminera.
2b) Trouver toutes les solutions complexes.

Je pense d'après moi que la solution réelle est simple à trouver et sans calcul et cette solution on va l'appeler z1 par exemple et elle nous permettra de trouver les solutions complexes en posant:

(z-z1)(az²+bz+c)=0

Puis on développe,on calcule delta, et on a les racines... Mais comment fait-on pour trouver la solution réelle? J'ai essayer d'enlever les i en disant que la partie imaginaire doit être égal a zéro mais je n'arrive pas à continuer...

Merci de vos réponses!

Remox
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[invite754f3790]

soit z la solution réelle.
z vérifie : z^3 -5z² +14z-16 =0
et avec la partie imaginaire : z²+z-6=0

[invite754f3790]

z=2 est solution

[invite0fa82544]

A vue : la racine réelle z=z* satisfait à la fois l'équation et sa complexe conjuguée. Par différence, on devrait trouver une équation du 2nd degré, non ?
Après, votre méthode est a bonne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite754f3790]

en faisant ça tu n' obtiendras qu'une équation du 2nd degré donc 2 solutions possibles pour z. Ensuite il faudra reporter dans l'equation de départ pour savoir laquelle convient, mais ça revient à faire comme j'ai fait, c'est pareil en fait.

[invite69cad21c]

C'est ptèt bête mais je ne comprend pas comment tu trouves 2... Quel est ta méthode?

[invite754f3790]

résoud z²+z-6=0 , tu obtiens -3 ou 2, et seul 2 vérifie l'équation z^3 -5z² +14z-16 =0

[invite69cad21c]

Ok mais pour trouver l'équation tu as remplacer Z par (x+iy) dans Z^3-(5-2i)Z²+2(7+i)Z-4(4+3i)=0 et séparer partie imaginaire et réelle?

[invite69cad21c]

En fait tu as ecrit directe la partie imaginaire: Z^3+2Z²+2Z-12 et tu as rédoud çà et tu as factoriser par Z+3, mais comment ta fais pour trouver le 3?

[invite69cad21c]

c'est bon j'ai compris

Merci!

[invite754f3790]

si z est réel, Re(Z^3-(5-2i)Z²+2(7+i)Z-4(4+3i))=0 et Im(Z^3-(5-2i)Z²+2(7+i)Z-4(4+3i))=0, ça te fait 2 équations. Commence par résoudre celle du 2eme ordre, puis tu réinjecte dans l'autre pour n'avoir plus qu'une solution : 2.

[invite69cad21c]

oui c'est ce que j'ai fais merci