Variables aléatoires

inviteb64a2f8e · 03/11/2009, 17h29

Bonjour à tous !

Voilà je suis complètement perdu sur un exercice qui traite des variables aléatoires et des espérances. Je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes. Voici l'énoncé :

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux variables aléatoires définies sur l'espace probabilisé $\text{[math]}$ , indépendantes, de même loi uniforme sur $\text{[math]}$ .
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ les variables aléatoires définies par :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Sous réserve d'existence, on note $\text{[math]}$ l'espérance de la variable aléatoire $\text{[math]}$ .

(a) Justifier l'existence des moments de tous ordres de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

=> $\text{[math]}$
Et là je suis bloqué, je ne sais pas comment me débarrasser de cette valeur absolue (sous réserve que ce que j'ai écrit soit correct).

(b) Montrer que $\text{[math]}$

=> $\text{[math]}$
Pareil, je reste bloqué ici =S

(c) En déduire $\text{[math]}$ et en donner un équivalent lorsque $\text{[math]}$ tend vers l'infini.

=> Je comprends à peu le rapport entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ mais je ne vois pas en quoi le fait d'avoir $\text{[math]}$ nous permet d'en déduire $\text{[math]}$ .

(d) Calculer $\text{[math]}$ en fonction de la variance $\text{[math]}$ de la variable aléatoire $\text{[math]}$

=> Alors là je ne comprends pas ce que $\text{[math]}$ vient faire dans l'histoire =S

Comme vous pouvez le voir je suis totalement perdu, je vous serais donc vraiment reconnaissant de me donner quelques pistes, de m'expliquer "l'esprit" de l'exercice.

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.

**God's Breath** · 03/11/2009, 17h55

Trois remarques :

1. Si j'ai bien compris $\text{[math]}$ de cardinal $\text{[math]}$ donc les lois uniformes de tes variables aléatoires sont données par $\text{[math]}$ .

2. On te demande de justifier l'existence des moments, pas de les calculer explicitement. Seule l'espérance est demandée.

3. Dans ton calcul des moments tu as en fait $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ce qui simplifie les écritures, en particuliers l'espérance est donnée par $\text{[math]}$ .

inviteb64a2f8e · 04/11/2009, 15h33

Tout d'abord, merci beaucoup de votre réponse.

Je reprends vos remarques :

1) En effet, désolé j'ai fait une étourderie.

2) Donc il faut que je montre que toutes les séries $\text{[math]}$ convergent absolument. Mais même si je ne dois pas les calculer, il faut que je justifie la convergence absolue des $\text{[math]}$ . Et je ne vois pas comment me "débarrasser" de la valeur absolue

3) Toujours le même problème pour le calcul de $\text{[math]}$ , à savoir la valeur absolue.

**God's Breath** · 04/11/2009, 15h41

Envoyé par ZimbAbwé

2) Donc il faut que je montre que toutes les séries $\text{[math]}$ convergent absolument. Mais même si je ne dois pas les calculer, il faut que je justifie la convergence absolue des $\text{[math]}$ .

Je ne vois aucune série pour avoir un problème de convergence absolue à étudier.

Envoyé par ZimbAbwé

3) Toujours le même problème pour le calcul de $\text{[math]}$ , à savoir la valeur absolue.

Essaie d'expliciter la somme $\text{[math]}$ pour quelques valeurs de $\text{[math]}$ afin de comprendre ce qui se passe. Ces sommes sont en fait très faciles à calculer.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteb64a2f8e · 04/11/2009, 19h48

Envoyé par God's Breath

Je ne vois aucune série pour avoir un problème de convergence absolue à étudier.

Donc il suffit que je dise $\text{[math]}$ est une somme finie donc elle existe ?

Envoyé par God's Breath

Essaie d'expliciter la somme $\text{[math]}$ pour quelques valeurs de $\text{[math]}$ afin de comprendre ce qui se passe. Ces sommes sont en fait très faciles à calculer.

Je me suis peut-être cassé la tête parce que je ne trouve pas vraiment quelque chose de très simple, mais au final j'ai le bon résultat, c'est le principal.

Sinon pour la question où il faut en déduire $\text{[math]}$ , il faut trouver une relation "logique" entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ? Il ne faut pas utiliser une formule sur les espérances ?

Merci beaucoup !

**God's Breath** · 04/11/2009, 20h06

Envoyé par ZimbAbwé

Sinon pour la question où il faut en déduire $\text{[math]}$ , il faut trouver une relation "logique" entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

Peux-tu donner une expression simple de
1) sup(X,Y) + inf(X,Y) ?
2) sup(X,Y) - inf(X,Y) ?

inviteb64a2f8e · 04/11/2009, 20h53

1) sup(X,Y) + inf(X,Y) = X + Y
2) sup(X,Y) - inf(X,Y) = $\text{[math]}$

Si on pose $\text{[math]}$ , on a donc :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Mais alors est-ce que j'ai le droit de dire que $\text{[math]}$
Et $\text{[math]}$ ?

Et alors comme je connais $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , je peux avoir $\text{[math]}$ .

Je ne sais trop si c'est l'esprit de la piste que vous m'avez donnée =S

**God's Breath** · 04/11/2009, 21h07

Envoyé par ZimbAbwé

Mais alors est-ce que j'ai le droit de dire que $\text{[math]}$
Et $\text{[math]}$ ?

Mais oui, l'espérance est linéaire !
Tu as bien compris ce qu'il faut faire.

inviteb64a2f8e · 04/11/2009, 21h18

Ah oui je suis bête c'est vrai. Merci beaucoup en tout cas !

Et une dernière chose, pouvez-vous me donner un indice pour la question (d) s'il-vous-plaît parce que je ne vois vraiment pas ce que $\text{[math]}$ vient faire dans cet exercice =S

inviteb64a2f8e · 05/11/2009, 17h50

C'est bon j'ai (enfin?) utilisé un peu mon cerveau et j'ai trouvé.

Merci beaucoup pour tout !

Variables aléatoires