Intégrabilité pour Lebesgue

[invite8c300b33]

Bonjour, les concepts se mélangent dans mon esprit concernant cette question; je sais qu'une fonction f Lebesgue-intégrable est telle que l'intégrale de la valeur absolue de f sur son ensemble de définition est finie. Dans mon cours, je vois aussi qu'une fonction f est intégrable si l'intégrale de f sur son ensemble de définition est finie (ici, sans la valeur absolue), et que f intégrable équivaut à |f| intégrable. D'où ma question, si l'intégrale de f (sans la valeur absolue encore une fois) sur son ensemble de définition est finie, peut-on dire qu'elle est Lebesgue-intégrable ?

Si non, pourquoi pour Lebesgue faut-il absolument vérifier l'intégrabilité de f en utilisant sa valeur absolue ?

Merci de m'éclairer
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[invite4793db90]

Salut,

pour prendre un exemple concret, l'intégrale est finie, mais la fonction n'est pas Lebesgue-intégrable sur .

La nécessité d'imposer la convergence de l'intégrale en valeur absolue vient de ce pour une intégrale semi-convergente comme ci-dessus, le procédé de sommation peut changer la valeur de l'intégrale (ceci est peut-être plus simple à voir sur les séries, qui s'interprètent facilement comme des intégrales au sens de Lebesgue pour la mesure de poids sur N) .

Cordialement.