integrabilité

[invite40f82214]

Bonjour,

(j'espere que le mot que j'ai employé dans le titre existe bien)

Pourriez vous me dire quelles sont les conditions pour qu'une fonction soit integrable. Je pense qu'il faut deja qu'elle soit defini sur le domaine d'integration?? mais il y a t il d'autres conditions?

Si une fonction n'est pas integrable entre [10;100] es ce qu'il y a une consequence sur la primitive de la fonction?
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[Seirios]

Bonjour,

Il me semble que l'intégrale existe si et seulement si , avec f définie et continue par morceau sur I.

[invite9a322bed]

Si une fonction n'est pas integrable entre [10;100] es ce qu'il y a une consequence sur la primitive de la fonction?

Si une fonction n'est pas intégrable, cela veut dire qu'elle n'est pas continue, et donc, elle n'admet pas de primitives.(Elle n'existe pas dans cet intervalle).

[invite40f82214]

merci mais j'ai toujours un probleme: la fonction 1/x n'est pas continue puisque n'est pas connu en 0 pourtant on connait ca primitive?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

La théorie de l'intégration est vaste et profonde, tu peux regarder ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...%C3%A9matiques) quelques éléments.

Pour répondre à ta dernière question, les primitives de 1/x (il y en a une infinité...) ne sont pas non plus définies en zéro...

[invite88ef51f0]

Salut,

Pourriez vous me dire quelles sont les conditions pour qu'une fonction soit integrable. Je pense qu'il faut deja qu'elle soit defini sur le domaine d'integration?? mais il y a t il d'autres conditions

C'est plus compliqué. On peut tolérer des discontinuités dans le domaine d'intégration si elles ne sont pas trop méchantes. Il faut qu'elles ne soient pas trop grosses (de mesure nulle) : typiquement un point isolé. Et il faut qu'elles ne soient pas trop violentes : une fonction du type 1/x^a est intégrable en 0 ssi a<1.
Ensuite, l'autre problème éventuel est si le domaine d'intégration est infini (c'est ce qu'on appelle les intégrales impropres). Alors, il ne suffit pas que la fonction soit définie. Il faut qu'elle tende vers 0 suffisamment rapidement. Une fonction du type 1/x^a est intégrable en l'infini ssi a>1.

[invite40f82214]

Pour répondre à ta dernière question, les primitives de 1/x (il y en a une infinité...) ne sont pas non plus définies en zéro...

à oui en effet c'etait une question bete

[invite40f82214]

merci tous le monde en tous cas pour ces eclaircissement

[invitec1ddcf27]

effectivement, comme coincoin l'a dit, c'est plus compliqué... il ne faut pas confondre "intégrabilité" et savoir calculer l'intégrale. Lorsqu'une fonction est continue sur un segment, alors elle admet une primitive. Dans ce cas, elle est intégrable au sens de Riemann. On peut construire cette intégrale pour des fonctions non continues, toutes les fonctions réglés (continues par morceaux, monotones...)
Le terme intégrable apparait réellement lorsqu'on cherche a intégrer sur un intervalle non compact. Par exemple . Alors, toujours au sens de Riemann, un fonction réglé sur va être dite intégrable sur si la limite

existe et est finie. C'est le cas de toute fonction décroissant vers zéro plus vite que . De meme, on peut souhaiter regarder une fonction pathologique en un point, par exemple

On regarde la limite

Et on dispose de résultat qui permettent d'établir qu'une telle limite existe sans qu'il soit nécéssaire de la calculer. Par exemple, si on peut majorer une fonction positive par une fonction intégrable, il est vrai (et intuitif) de conclure que la fonction est intégrable



Ensuite suit l'intégrabilité au sens de l'intégrale de Lebesgue. Cette notion est plus forte, au sens o\`u certaine fonction Riemann-intégrable ne sont pas Lebesgue-intégrable. Par exemple

est finie (pas facile a montrer) mais la fonction n'est pas Lebesgue-intégrable. En effet, on dit qu'une fonction est intégrable au sens de Lebesgue si elle l'est en norme. Et on vérifie que



Tout cela pour dire que la notion d'intégrabilité est relative à l'intégrale considérée (Riemann/Lebesgue). Et qu'il n'y a pas de lien véritable entre intégrabilité et continuité, si ce n'est qu'une fonction continue sur un segment est intégrable.
Au sens de Lebesgue (ou l'on peut définir l'intégrale pour bcp plus de fonctions qu'avec Riemann), des fonctions très pathologiques sont intégrables, comme l'indicatrice de ....