application du changement de variable

[invite769a1844]

Bonjour,

j'ai du mal à comprendre le changement de variable suivant:

.

.

Le difféomorphisme en jeu serait



et pour le jacobien on devrait avoir: .

Comme n'est pas vraiment un sous-ensemble de , je ne vois pas comment calculer la jacobienne de .

Merci pour votre aide.
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[invite0fa82544]

Bonjour,

j'ai du mal à comprendre le changement de variable suivant:

.

.

Le difféomorphisme en jeu serait



et pour le jacobien on devrait avoir: .

Comme n'est pas vraiment un sous-ensemble de , je ne vois pas comment calculer la jacobienne de .

Merci pour votre aide.

Si je comprends bien la question posée, l'élément différentiel dans n'est autre que multiplié par la surface de la sphère de rayon unité dans , , soit :


où est la fonction d'Euler de deuxième espèce. L'intégrale devient :


qui converge quel que soit .

[invite769a1844]

Bonsoir Armen,

merci de te pencher sur mon problème.

En fait j'essaie de voir pourquoi le changement de variable

,

nous amène à l'égalité:

.

J'essaie donc de retrouver dans cette égalité le difféomorphisme et sa jacobienne en jeu de l'énoncé de la formule de changement variable (une version est donnée dans ce cours page 82, théorème 1.7.2).

[invite769a1844]

j'ai oublié le lien du cours: http://www.dma.ens.fr/~legall/IPPA2.pdf.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

C'est un bête passage en coordonnées sphériques.
Dans le polycop, il s'agit du théorème 7.2.1. p. 85.

[invite769a1844]

ok, je ne savais pas que les coordonnées sphériques se généralisaient au-delà de d=3.
Merci beaucoup.

[invite57a1e779]

ok, je ne savais pas que les coordonnées sphériques se généralisaient au-delà de d=3.

Il s'agit seulement de généraliser les coordonnées polaires.

Dans le plan on a : ,
ce qui fournit les oordonnées cylindriques dans l'espace :

De nouvelles coordonnées polaires :
conduisent aux coordonnées sphériques : .

En dimension 4 : ,
et de nouvelles coordonnées polaires :
conduisent aux coordonnées "hypersphériques" : .
Et on peut continuer...

[invite769a1844]

ok le procédé me paraît beaucoup plus clair.
Merci God's Breath.