Soucis d'intégrale de exp(-ax)/x

[invite92876ef2]

Bonjour à tous.

J'ai le champ électrostatique de l'électron et du proton (atome H) au point R (symétrie sphérique) :

E(R) = (e/4Piepsilone0)(1/R²)(2R²/a₀² + 2R/a₀ + 1)exp(-2R/a₀) R/R.

Calculer le potentiel électrostatique W(R) ?

On sait que W(R) = - intgrale de 0 à R (E(r)dr)

Problème : on tombe sur intégrale de 0 à R (exp(-2R/a₀)/R). Le corrigé affirme : "L'intégrale se calcule en effectuant des intégrations par parties successives, et on trouve :
W(R) = (e/4Piepsilone0)(1/R + 1/a₀)exp(-2R/a₀)"...

J'aimerais bien savoir de quel ciel tombe cette formule ?

Je vous remercie de bien vouloir m'aider !!...
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[invite57a1e779]

Si j'ai bien compris, on a en fait à calculer les intégrales , , .

Lorsque l'on intègre la seconde par parties, on obtient la troisième, et l'intégrale "incalculable" disparaît du calcul.

[invite92876ef2]

je ne suis convaincu, car on obtient un terme qui est [(1/R)(-a0/2)exp(-2R/a0)] R prennant les valeur R et 0....

[invite57a1e779]

Calculer le potentiel électrostatique W(R) ?

On sait que W(R) = - intgrale de 0 à R (E(r)dr)

Indépendamment du calcul explicite de l'intégrale, si on intègre de 0 à R, l'intégrale est divergente. En principe, on intègre de R à l'infini (potentiel nul à l'infini).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92876ef2]

Oui, j'ai pris par réflexe de primitiver (donc + cte) et de prendre V=0 à l'infini. C'est bien ce que je pensais en voyant l'erreur de l'énoncé, mais vu que je me suis dit qu'on tombait sur l'intégrale Ei, et qu'on trouvait un résultat fini, je me suis dit que Dieu intervenait dans l'histoire.
Désormais j'aurai le réflexe de "compenser" les intégrales divergentes.

Merci de votre aide !

[invite92876ef2]

Mais puisqu'on est sur un forum de math, et que la rigueur prime, est-il légitime de "compenser" des intégrales divergentes ?!

[invite57a1e779]

Je ne sais pas ce que tu appelles "compenser" des intégrales divergentes, mais



d'où la primitive qui sert à calculer le potentiel, et dont l'intégrale converge entre R et l'infini.