Espaces probabilisés (kaderben)

[kaderben]

Bonjours tout le monde!
Petits problèmes avec les notations des espaces probabilisés.

Pour les probabilités on donne la définition suivante:
(omega,P(omega),p) mega=univers, p probabilité, P(omega) c'est quoi?

Pour les variables aléatoires: (omega,T) T sous ensemble de
P(omega), T c'est quoi ?

puis X variable aléatoire:
X(omega), (X<x)={a;a de omega, X(a)<x) appartient à T, tout ça c'est quoi ?

Quelqu'un peut il m'expliquer tout ça en français...
Merci!
-----

[invite986312212]

bonjour,
un espace probabilisé c'est un triple comprenant:
- un ensemble
- une tribu de parties de cet ensemble
- une probabilité sur cette tribu

pour le premier point les notations suggèrent que P(omaga) est l'ensemble des parties de omega (c'est une tribu).
pour le second point T est une tribu sur omega, c'est bien un sous-ensemble de l'ensemble des parties de omega, P(omega)

[kaderben]

Merci ambrosio!
Mais que signifient les notations X(omega) et X(a)<x ?
On dirait que X ressemble à une application, si oui, X applique quoi dans quoi ?
Merci

[invite986312212]

oui, une variable aléatoire est bien une application, c'est une application d'un espace probabilisé dans un espace mesurable où est une tribu sur . Cette application doit être mesurable c'est-à-dire que la préimage par de tout élément de doit appartenir à .

La notation désigne l'image de $X$ et la notation d'abord suppose que est ordonné, et ensuite désigne la préimage par de l'ensemble des tels que , ou en d'autres termes

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

merci Ambrosio!
J'arriverai mieux avec un exemple
Dans une urne 4 boules B1,B3,N1,N2. On tire simultanément 2 boules. Soit X la v.a qui compte la somme des numéros des 2 boules tirés.
Donc
oméga={(b1,b3),(b1,n1)...(n1,n 2)} 6 possibilités
X(omega)={2,3,4,5} valeurs prises par X avec probabilités respectives 1/6,1/3,1/3,1/6
P(omega)={ {(b1,b3},{(b1,b3),(b1,n1)},{(b 1,b3),(b1,n1),(n1,n2)},...{vid e} } 6^2=36 parties
T={(b1,b3)} par exemple, une partie de P(omega).
Je pense que jusque là c'est bon.
Avec tes notations, comment peut on expliciter E,B, petit omega de omega,et x ?
Merci

[invite986312212]

bonsoir,

tu décris une expérience du monde physique (même si elle est imaginaire) et naturellement il y a plusieurs façons de la représenter mathématiquement.

L'ensemble Omega tu l'as défini comme l'ensemble des paires de boules (!), c'est un choix naturel même si tu aurais pu en faire un autre (par exemple l'ensemble des couples <=paires ordonnées> de boules). La tribu T va être l'ensemble des parties de Omega, parce que dans le cas où Omega est fini, il n'y a aucun intérêt à se restreindre.

pour construire P, tu vas assigner à chaque élément omega de Omega, vu comme singleton (car P s'applique à des parties de Omega) la valeur 1/6. Ensuite tu étends P à T en assignant à chaque élément A de T la valeur a/6 où a est le nombre d'éléments de A. C'est un procédé général: on assigne une valeur à certains éléments de la tribu (un anneau de parties de Omega qui engendre T) et on étend la fonction à la tribu en utilisant la propriété additivité de P (je simplifie ici)

Pour l'ensemble E tu peux prendre juste {2,3,4,5} puisque c'est l'ensembe des valeurs que peut prendre X, mais tu peux aussi prendre l'ensemble des entiers naturels N, ou encore l'ensemble des réels R. La tribu sur E va encore être l'ensemble des parties de E si E={2,3,4,5} ou N, mais pourrait être plus petite si E=R (là non plus ça ne change rien).

écrivons maintenant l'ensemble [X<x], dans le cas où x=3.
C'est donc le sous-ensemble de Omega des omega tels que X(omega)<3. C'est donc l'ensemble réduit à un élément {{b1,n1}}
(tu remarqueras les doubles accolades: l'accolade interne pour représenter l'élément {b1,n1} de Omega, car on a dit qu'un élément de Omega était une paire, l'accolade externe pour définir le sous-ensemble de T).