L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...
Salut tous
Pourriez vous m'aider svp?
J'ai un petit problème avec la fonction exponentielle!
Bon je sais que c'est la fonction qui modélise certains phénomènes physiques et biologiques, mais je comprends pas comment ça se fait qu'elle soit égale à sa dérivée(je veux dire: comment peut-on l'interpréter graphiquement?) et d'ou vient le nombre e=2,71815 ?
MERCI
Parce que la fonction exponentielle est définie comme étant la seule fonction égale à sa dérivée et où f(0) = 1.
Je ne vais pas te refaire tout la démarche pour trouver les proprietés de la fonction exponentielle mais tu peux trouver une valeur approchée du nombre e grâce à la méthode d'Euler.
Pour trouver une valeur approchée de e, on peut utiliser effectivement la méthode d'Euler :
En prenant, on a
On pose
Ces approximations sont d'autant plus précises lorsque
On a ainsi :
soit
On peut ainsi conclure que :
(
Voilà ma méthode pour prouver cette égalité, mais bien d'autres encore existent.
Pour ce qui est de l'interprétation physique de ce nombre, je ne l'ai pas abordé, donc je ne peux pas te renseigner, désolé ...
Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...
bonsoir à tous l'origine du nombre e : effectue sur ta calculette 1.00001^100000 c' est la valeur assez proche du nombre e
Ceci s'explique par ce que je viens de démontrer dans mon précédent message portoline ^^
Ton calcul est de la forme
Plop,
Autre méthode :
Or, quand x tend vers 0, ln(1+x) ~ x (-x²/2 + x^3/3 - ... c'est autre chose)
->
Bonjour MiMoiMolette, ta méthode recourt à la propriété des log :Envoyé par MiMoiMolette
Plop,
Autre méthode :
Or, quand x tend vers 0, ln(1+x) ~ x (-x²/2 + x^3/3 - ... c'est autre chose
->
ln a ^x= x ln a d'accord ; mais là on recherche l'origine de e et toi tu démontres que e = e !!!!! ::
Euh...
Ben non, je montre que (1+1/n)^n tend vers e (j'avoue, j'ai pas lu le premier post, j'ai juste vu celle de bubulle
Partons du discret (les entiers).
A la 1ère génération on a y(0)=1
La vitesse=quantité donc entre la 1ère et la 2ème génération, on a y(1)-y(0)=y(0)(1-0)=1 y(1)=1+1=2
La vitesse=quantité entre la 2ème et la 3ème génération, on a
y(2)-y(1)=y(1)(2-1)=2 y(2)=4
...
y(3)=8...y(4)=16...y(n)=2n.
On place les points (0,1) ; (1,2) ; (2,4); (3,8) ; (4, 16) ... (n,y(n)=2n) sur un graphique et on les relie. (Je te conseille de le faire vraiment).
Si on trace la droite passant entre le n-ème point et le (n+1)-ème point, la pente de cette droite=y(n), la pente=vitesse, par construction. Cette droite coupe l'"axe des x" en l'abcisse n-1.
Ceci n'est qu'une approximation grossière, on peut affiner en prenant des pas plus petits que 1. Par exemple, pour un pas=0,5, on a :
(0,1) (0,5 ; 1,5) (1;1,5+1,5x0,5=(1,5)²=2,25) (1,5 ; 2,25+2,25x0,5=2,25x1,5=1,53=3,375) (2 ; 1,54=5,0625)...
On peut aussi les placer sur un graphique et les relier.
Si on trace la droite passant entre le n-ème point et le (n+1)-ème point, la pente de cette droite=y(n), la pente=vitesse, par construction. Cette droite coupe l'"axe des x" en l'abcisse n-1.
Avec un peu de calcul, on montre que si on prend un pas=1/n, on a les points (k/n, (1+1/n)k) (en particulier pour k/n=1, càd k=n, on a le point (1;(1+1/n)n).
Dans ce qui précède on a pente=ordonnée uniquement en les points d'abscisses k/n
pour la 1ère ce n'est vrai qu'en n=0, n=1, n=2...
pour la 2ème ce n'est vrai qu'en n=0, n=0,5, n=1...
...
Entre k/n et k/n+pas=k/n+1/n=(k+1)/n l'ordonnée augmente mais la pente reste inchangée (il y a une retard à la "correction" de la pente). Mais plus n est petit moins cet écart entre l'ordonnée et la pente est important (pour une abscisse donnée). Si on fait tendre n vers +infini ces courbes, qui sont des lignes brisées, tendent vers une courbe d'équation y=f(x).
Il n'y a plus d'équivalent pour un point donné de "point suivant" ((1,2) est le "point suivant" pour (0;1) dans le 1er cas) qui permette de calculer la pente. Tu n'es pas sans savoir que l'on remplace alors le calcul de la pente par la dérivée. Il se trouve que ce qu'on attend de notre courbe est bien vérifiée à savoir que f'(x)=f(x).
Et on a la propriété la tangente à la courbe en un point M : (x;f(x)) de celle-ci coupe l'axe des abscisses en x-1. (en un point T).
En effet, la pente de la droite MN est
On a également ceci, on a "vu" que pour un pas de 1/n, le point d'abscisse x=k/n a pour ordonnée (1+1/n)k ce qui est égal à
Quand n tend vers +infini, (1+1/n)n tend vers un nombre qui n'est autre que e (qui est une définition possible pour e, quand on construit l'exponentielle par ce biais c'est d'ailleurs ainsi qu'on définit le nombre e), et ça converge donc vers "e puissance x", ce qui n' a un sens au départ que pour x rationnel, pour x réel cela devient usuellement la définition. Cela respecte bien la règle ea+b=eaeb que l'on peut démontrer, entre autres, directement par cette construction des faits que cette propriété est vraie pour les a et b de la forme k/n au pas 1/n et que ces valeurs deviennent de plus en plus approchées quand n tend vers +infini.
Hello,Pour trouver une valeur approchée de e, on peut utiliser effectivement la méthode d'Euler :
En prenant
On pose
Ces approximations sont d'autant plus précises lorsque
On a ainsi :
soit
On peut ainsi conclure que :
(
Voilà ma méthode pour prouver cette égalité, mais bien d'autres encore existent.
Pour ce qui est de l'interprétation physique de ce nombre, je ne l'ai pas abordé, donc je ne peux pas te renseigner, désolé ...
ça devient interessant si on utilise ma notation des infinies :
On pose lim(n)=inf
on pose lim(1/n)= d
On a
e=(1+d)^inf
e=somme pour chaque a (produit pour chaque b(Ia(b)))
et Ia une des suites possibles composé de 1 ou d
or le produit devient
et donc la somme devient
e=somme pour chaque a (d^(nombre de 1 dans a écrit en binaire))
ça inspirera peut être quelqu'un..
oups je me suis encore fait avoir par l'infinie..
