Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 11 sur 11

L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...




  1. #1
    l.chouaib

    Smile L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Salut tous
    Pourriez vous m'aider svp?
    J'ai un petit problème avec la fonction exponentielle!
    Bon je sais que c'est la fonction qui modélise certains phénomènes physiques et biologiques, mais je comprends pas comment ça se fait qu'elle soit égale à sa dérivée(je veux dire: comment peut-on l'interpréter graphiquement?) et d'ou vient le nombre e=2,71815 ?

    MERCI

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    carrieres

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Parce que la fonction exponentielle est définie comme étant la seule fonction égale à sa dérivée et où f(0) = 1.

    Je ne vais pas te refaire tout la démarche pour trouver les proprietés de la fonction exponentielle mais tu peux trouver une valeur approchée du nombre e grâce à la méthode d'Euler.

  4. #3
    bubulle_01

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Pour trouver une valeur approchée de e, on peut utiliser effectivement la méthode d'Euler :

    En prenant , on a soit
    On pose
    Ces approximations sont d'autant plus précises lorsque tend vers 0 soit lorsque tend vers
    On a ainsi :

    soit
    On peut ainsi conclure que :

    ().
    Voilà ma méthode pour prouver cette égalité, mais bien d'autres encore existent.
    Pour ce qui est de l'interprétation physique de ce nombre, je ne l'ai pas abordé, donc je ne peux pas te renseigner, désolé ...


  5. #4
    portoline

    Smile Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    bonsoir à tous l'origine du nombre e : effectue sur ta calculette 1.00001^100000 c' est la valeur assez proche du nombre e

  6. #5
    bubulle_01

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Ceci s'explique par ce que je viens de démontrer dans mon précédent message portoline ^^
    Ton calcul est de la forme avec

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    MiMoiMolette

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Plop,

    Autre méthode :


    Or, quand x tend vers 0, ln(1+x) ~ x (-x²/2 + x^3/3 - ... c'est autre chose )

    ->
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  9. #7
    portoline

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Plop,

    Autre méthode :


    Or, quand x tend vers 0, ln(1+x) ~ x (-x²/2 + x^3/3 - ... c'est autre chose )

    ->
    Bonjour MiMoiMolette, ta méthode recourt à la propriété des log :

    ln a ^x= x ln a d'accord ; mais là on recherche l'origine de e et toi tu démontres que e = e !!!!! ::

  10. Publicité
  11. #8
    MiMoiMolette

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Euh...

    Ben non, je montre que (1+1/n)^n tend vers e (j'avoue, j'ai pas lu le premier post, j'ai juste vu celle de bubulle )
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  12. #9
    homotopie

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Citation Envoyé par l.chouaib Voir le message
    je veux dire: comment peut-on l'interpréter graphiquement?
    Partons du discret (les entiers).
    A la 1ère génération on a y(0)=1
    La vitesse=quantité donc entre la 1ère et la 2ème génération, on a y(1)-y(0)=y(0)(1-0)=1 y(1)=1+1=2
    La vitesse=quantité entre la 2ème et la 3ème génération, on a
    y(2)-y(1)=y(1)(2-1)=2 y(2)=4
    ...
    y(3)=8...y(4)=16...y(n)=2n.
    On place les points (0,1) ; (1,2) ; (2,4); (3,8) ; (4, 16) ... (n,y(n)=2n) sur un graphique et on les relie. (Je te conseille de le faire vraiment).
    Si on trace la droite passant entre le n-ème point et le (n+1)-ème point, la pente de cette droite=y(n), la pente=vitesse, par construction. Cette droite coupe l'"axe des x" en l'abcisse n-1.

    Ceci n'est qu'une approximation grossière, on peut affiner en prenant des pas plus petits que 1. Par exemple, pour un pas=0,5, on a :
    (0,1) (0,5 ; 1,5) (1;1,5+1,5x0,5=(1,5)²=2,25) (1,5 ; 2,25+2,25x0,5=2,25x1,5=1,53=3,375) (2 ; 1,54=5,0625)...
    On peut aussi les placer sur un graphique et les relier.
    Si on trace la droite passant entre le n-ème point et le (n+1)-ème point, la pente de cette droite=y(n), la pente=vitesse, par construction. Cette droite coupe l'"axe des x" en l'abcisse n-1.

    Avec un peu de calcul, on montre que si on prend un pas=1/n, on a les points (k/n, (1+1/n)k) (en particulier pour k/n=1, càd k=n, on a le point (1;(1+1/n)n).

    Dans ce qui précède on a pente=ordonnée uniquement en les points d'abscisses k/n
    pour la 1ère ce n'est vrai qu'en n=0, n=1, n=2...
    pour la 2ème ce n'est vrai qu'en n=0, n=0,5, n=1...
    ...
    Entre k/n et k/n+pas=k/n+1/n=(k+1)/n l'ordonnée augmente mais la pente reste inchangée (il y a une retard à la "correction" de la pente). Mais plus n est petit moins cet écart entre l'ordonnée et la pente est important (pour une abscisse donnée). Si on fait tendre n vers +infini ces courbes, qui sont des lignes brisées, tendent vers une courbe d'équation y=f(x).
    Il n'y a plus d'équivalent pour un point donné de "point suivant" ((1,2) est le "point suivant" pour (0;1) dans le 1er cas) qui permette de calculer la pente. Tu n'es pas sans savoir que l'on remplace alors le calcul de la pente par la dérivée. Il se trouve que ce qu'on attend de notre courbe est bien vérifiée à savoir que f'(x)=f(x).
    Et on a la propriété la tangente à la courbe en un point M : (x;f(x)) de celle-ci coupe l'axe des abscisses en x-1. (en un point T).
    En effet, la pente de la droite MN est ce qui est bien la valeur de la pente de la tangente en M. Ces deux droites ont même pente et ont au moins un point en commun (M) donc sont confondues.
    On a également ceci, on a "vu" que pour un pas de 1/n, le point d'abscisse x=k/n a pour ordonnée (1+1/n)k ce qui est égal à
    Quand n tend vers +infini, (1+1/n)n tend vers un nombre qui n'est autre que e (qui est une définition possible pour e, quand on construit l'exponentielle par ce biais c'est d'ailleurs ainsi qu'on définit le nombre e), et ça converge donc vers "e puissance x", ce qui n' a un sens au départ que pour x rationnel, pour x réel cela devient usuellement la définition. Cela respecte bien la règle ea+b=eaeb que l'on peut démontrer, entre autres, directement par cette construction des faits que cette propriété est vraie pour les a et b de la forme k/n au pas 1/n et que ces valeurs deviennent de plus en plus approchées quand n tend vers +infini.

  13. #10
    invite9321657

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    Pour trouver une valeur approchée de e, on peut utiliser effectivement la méthode d'Euler :

    En prenant , on a soit
    On pose
    Ces approximations sont d'autant plus précises lorsque tend vers 0 soit lorsque tend vers
    On a ainsi :

    soit
    On peut ainsi conclure que :

    ().
    Voilà ma méthode pour prouver cette égalité, mais bien d'autres encore existent.
    Pour ce qui est de l'interprétation physique de ce nombre, je ne l'ai pas abordé, donc je ne peux pas te renseigner, désolé ...
    Hello,

    ça devient interessant si on utilise ma notation des infinies :
    On pose lim(n)=inf
    on pose lim(1/n)= d
    On a
    e=(1+d)^inf

    e=somme pour chaque a (produit pour chaque b(Ia(b)))

    et Ia une des suites possibles composé de 1 ou d
    or le produit devient


    et donc la somme devient
    e=somme pour chaque a (d^(nombre de 1 dans a écrit en binaire))

    ça inspirera peut être quelqu'un..

  14. #11
    invite9321657

    Re : L'origine du nombre "e", et interprétation de exp'(x)=exp(x)...

    oups je me suis encore fait avoir par l'infinie..

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Signe de exp(x)-exp(-x)?
    Par neokiller007 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 12
    Dernier message: 07/12/2009, 10h55
  2. exp et nombre complexe
    Par ti_ouf dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 16
    Dernier message: 02/12/2007, 11h00
  3. signification de "exp" dans un calcul
    Par Seirios dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 11/11/2006, 14h28
  4. nerf ulnaire à l'origine du "coup du petit juif"
    Par caro54 dans le forum Santé et médecine générale
    Réponses: 2
    Dernier message: 24/10/2006, 07h28
  5. Démonstration de exp(a+b) = exp(a) * exp(b)
    Par Nox dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 22
    Dernier message: 10/08/2006, 18h16