Produit de Cauchy et solution de série premier degré

[invitec529fad8]

Comment fait-on pour calculer le produit de Cauchy. Je ne veux pas avoir la règle de sommation, j'aimerais, si possible, que l'on me l'explique.

Voici deux exemples où j'ai besoin de comprendre son fonctionnement:

e^x y '' +xy =0
et
cos x * y'' + xy' - 2y = 0

Dans ces deux problèmes je dois trouver les solutions de la forme
y= sommation n=0 à infini an*x^n
y'=sommation n=1 à infini n*an*x^n-1
y''=sommation n=2 à infini n(n-1)*an*x^n-2

Je remplace les y, y' et y'' dans la formule et je trouve la série de e^x et cos x. Jusqu'ici pas de problème, mais ensuite je ne sais pas comment calculer le produit des sommation de e^x *y'' et cosx * y''.
Une fois que j'aurais réussi cette multiplication, je serai en mesure de trouver les séries solutions.

Ma deuxième question est du même style.

Comment fait-on pour calculer la solution lorsque nous avons
(x-xo)^n au lieu de x^n seulement. Donc pas autour de l'origine.

Par exemple, ici,
y'-xy=0
peut être exprimé comme
sommation n=1 à infini n*an*(x-xo)^n-1 - x*sommation n=0 à infini an*(x-xo)^n = 0

Le problème c'est que je ne sais pas comment faire rentrer le x dans la sommation.

Merci d'avance,
gravitonlibre
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[God's Breath]

Le produit de Cauchy des séries entières et est la série entière avec, pour tout , .

Pour ta deuxième question, il suffit d'écrire .

[invitec529fad8]

je veux qu'on me montre comment le calculer je ne veux pas seulement voir cette formule j'ai besoin d'un peu plus d'explications svp.

[God's Breath]

Tu as et avec, pour tout , .

Donc avec, pour tout , .

[A voir en vidéo sur Futura]