Problème logique-théorie des ensembles (urgent)

[invitef47b0ae5]

Bonsoir,

Voilà dans un DM d'algèbre je bloque sur la question suivante:

A quelle condition a-t-on {{x};{x;y}}={{x'};{x';y'}} ? (x, x', y et y' sont quelconques)


Serait-il possible d'avoir des pistes de réflexion? C'est peut être assez simple mais je ne vois pas du tout comment faire!

Si quelqu'un pouvait m'aider.

Merci



Si cela peut aider, je précise que cette question est la dernière d'un exercice portant sur l'axiome de l'infini et la construction des entiers naturels à partir de cet axiome et de l'ensemble vide (avec s(x)=xU{x} etc...)
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

Je note A={{x};{x;y}} et B={{x'};{x';y'}}.

Combien A a-t-il d'éléments ?
Combien B a-t-il d'éléments ?
Enfin A=B si, et seulement si, A et B ont les mêmes éléments.

[invitef47b0ae5]

A a deux éléments, B aussi.
La condition serait x=x' et y=y'?

[invite57a1e779]

A a deux éléments, B aussi.

Es-tu certain que les éléments {x} et {x,y} de A soient distincts ?

La condition serait x=x' et y=y'?

Oui, mais il y a plusieurs cas à étudier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef47b0ae5]

Il y aurait alors aussi les cas x=y' et y=x'?

[invite57a1e779]

Il y aurait alors aussi les cas x=y' et y=x'?

Non, il faut discuter suivant que x est égal à y, ou différent de y.

[invitef47b0ae5]

Merci de ton aide,
J'ai compris les différents cas à étudier!

Bonne soirée

[Médiat]

Pour renforcer un peu ce que dit God's Breath, {x} est un singleton quelque soit x (même si c'est l'ensemble vide), alors que pour {x, y} ce n'est pas toujours un doubleton ; donc A et B peuvent très bien n'avoir qu'un seul élément et non deux.