Logique et théorie des ensembles

[roll]

Bonjour,

J'ai deux petites questions:

- les axiomes ZFC sont la bases de la théorie des ensembles et sont des énoncés de logique des prédicats égalitaire (en ajoutant le symbole ). Je me dis donc que puisqu'on a besoin au préalable de la logique des prédicats pour construire la théorie des ensembles, on ne doit pas faire appel à la notion d'ensemble pour la logique des prédicats (je pense ) mais quand on défini le langage de la logique on a un ensemble de symbole (les symboles de variables, de prédicats, ...).

- l'alphabet du langage de la logique des prédicats contient des symboles de fonctions. Or pour moi, on a besoin de la théorie des ensembles pour parler de fonction et on retombe sur le même problème ...

Quelqu'un peut il m'expliquer où je me trompe? merci.
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[Médiat]

Les ensembles dont tu parles et qui interviennent dans ces définitions sont des ensembles au sens naïf, il n'est pas nécessaire de faire appel à ZF pour dire que ( €, =) est un "ensemble" de relations (d'ailleurs, au sens de ZF il s'agirait plutôt d'un couple puisque je l'ai noté avec des parenthèses).

Un autre exemple, j'espère plus parlant :
Soit T = "La théorie des groupes dont tous les éléments sont d'ordres 17". Est-il nécessaire de disposer des axiomes de l'arithmétique pour écrire la définition précédente ? Bien que j'utilise "17" qui n'est pas un symbole de la théorie des groupes, la réponses est évidemment non, le 17 en question est un entier "naïf", pas un élément d'un modèle de la théorie de l'arithmétique de Peano.

[roll]

Ah OK je comprend merci.

[invite959a557f]

Non je suis d'accord avec l'interrogation initiale de roll: ce n'est pas qu'une impression, il y a vraiment un problème profond. On a véritablement besoin d'une certaine notion d'ensemble pour introduire la logique des prédicats.
Ainsi, une théorie axiomatique est la donnée d'un ensemble de symboles et d'un ensemble de formules utilisant ces symboles, appelés axiomes. Une formule est un ensemble fini muni d'une certaine structure, dont notamment une application à valeurs dans l'ensemble des symboles, et satisfaisant certains axiomes. Parmi ces axiomes se trouve le fait qu'une certaine relation binaire sur cet ensemble est bien-fondée (ceci suffit à garantir par ailleurs que l'ensemble est fini du moment que l'arité de chaque symbole est finie). Une formule prend un sens en s'interprétant dans un modèle qui est un ensemble muni de structures.

On s'en sort de manière approximative en supposant d'abord admises certaines notions justifiées intuitivement.
En fait il y a deux approches possibles:
- Soit on introduit la notion d'ensemble sans se baser sur la théorie des modèles. Mais alors il n'y a pas à poser des axiomes suivant un statut spécial par rapport aux tautologies, règles de syntaxes et de démonstrations. C'est une théorie naïve des ensembles.
- Soit on introduit la théorie des modèles en cachant le fait qu'elle se fonde sur la théorie des ensembles. Les formules étant des structures finies, on les admet comme construites "à la main" élément par élément sans prétendre à la généralité (de toute façon on doit déjà procéder ainsi même en théorie naïve des ensembles pour l'écriture des formules). On oublie qu'une théorie peut avoir plusieurs modèles, on en fixe un et on l'appelle "l'univers"...
Or, je trouve qu'il n'est en l'occurence que très peu adéquat de présenter la théorie des ensembles sous forme de ZF qui suppose une théorie des modèles admise sans notion d'ensemble, dans la mesure où ZF comporte un ensemble infini d'axiomes (le schéma de remplacement) et ne peut donc que bien difficilement prétendre être construit à la main. Il faudrait prendre pour cela une autre théorie axiomatique des ensembles qui ait un ensemble fini d'axiomes. Certes on pourrait fonder la notion de schéma d'axiomes comme le schéma de remplacement, sur l'algorithmique, mais comment définir l'algorithmique sans utiliser l'arithmétique de Peano ? laquelle comporte déjà un schéma d'axiomes...

Voir mon approche des fondements des mathématiques où je creuse ces questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je ne vais pas développer point par point car je n'ai pas beaucoup de temps, mais je voudrais néanmoins préciser deux points :
Il n'est pas utile de convoquer tous les axiomes de ZF (il suffit de les lire pour comprendre leur inutilité ici) pour parler de "l'ensemble" des symboles d'une théorie (surtout s'il n'y en a qu'un), une conception toute naïve des ensembles est bien suffisante, ou bien, pour évacuer le problème, on dit "la classe des symboles", "la collection des symboles", voire "les symboles".

Je peux donner un illustration portant sur la notion d'entier naïfs plutôt que sur les ensembles naïfs, car cela me semble plus parlant :
Si je veux donner la définition d'un groupe abélien de torsion, je peux donner la définition suivante : Un groupe abélien (noté additivement) est dit de torsion si Et tout le monde comprend cette définition, sauf qu'elle est écrite non dans le langage de la théorie des groupes mais dans un métalangage qui utilise une notion naïve des entiers (et non l'arithmétique de Peano), la preuve étant que la théorie des groupes abéliens de torsion n'est même pas axiomatisable au premier ordre (démonstration triviale par compacité) alors que je semble l'avoir fait (par confusion du métalangage et du langage).

[invitef07e911d]

Hello,

désolé de ressortir ce vieux poste, mais je suis tombé dessus alors que je me posais exactement la même interrogation que l'auteur initial du sujet et je trouve ce débat intéressant.

Je suis pas vraiment satisfait avec l'idée de dire qu'on utilise des notions d'objets intuitifs pour définir la logique (ensemble intuitif, entier intuitif). Ce serait effectivement acceptable comme approche il me semble, mais là je trouve que dans le cas de la logique il y a plusieurs problèmes qui se posent.

Déjà je crois me souvenir que certains théorèmes comme ceux de Lowenheim Skolem font venir en jeu la notion de cardinal et donc de l'axiome du choix, et je trouve que à partir de là on ne peut plus estimer que c'est des ensembles intuitifs que l'on utilise. De même avec les théorèmes d'incomplétude, on parle de théories de tailles infinies et récursives, encore une fois je ne pense pas qu'on puisse se contenter de dire que ce sont des ensembles naïfs que l'on utilise...

De plus je lisais un cours sur la théorie des ensembles (très bon cours d'ailleurs), et les premiers chapitres présentaient la théorie des ensemble à partir des axiomes classiques (système ZFC), puis introduisait la logique, en représentant les formules par leur équivalent en terme d'ensemble, bref définissait la logique à l'intérieur de la théorie des ensembles. Cet approche peut aussi se justifier, mais vu qu'il me semble que la logique permet de définir un cadre et des règles formelles pour les théories, et que ZFC serait un exemple d'une théorie étudiée, je trouve pas clair qu'on puisse utiliser ZFC pour définir la logique puis ensuite analyser ZFC à l'intérieur de cette logique en tant que théorie...

Enfin bref j'ai l'impression que quelque chose m'échappe dans ce problème de fondation des mathématique.

[Médiat]

Bonjour,

Quelques remarques en plus de ce que j'ai déjà dit sur ce même fil :

Chercher à définir formellement les systèmes formels en n’utilisant que des notions formelles préalablement définies formellement est aussi vain que de chercher un dictionnaire dont les définitions n’utiliseraient que des mots préalablement définis dans ce même dictionnaire (cf. Aristote et le moteur immobile) ; or un dictionnaire est un outil utile et qui fonctionne, même si certains cas ne sont pas très utiles (« Vienne : Ville dont les habitants sont les Viennois » et « Viennois : Habitant d’une ville dont le nom est Vienne » (exemple inventé)). L’important est que la définition de système formel permette de transmettre l’information nécessaire, comme un dictionnaire.

Quant au théorème de Löwenheim-Skolem, c’est un théorème de théorie des modèles, un modèle étant un ensemble, si on étudie la théorie des groupes, il n’y a aucune difficulté à considérer que ces ensembles sont des éléments d’un modèle de la théorie des ensembles, mais comment définir ce dernier ? Et est-ce utile, c'est-à-dire « est-ce que toute la puissance de ZF (avec la possibilité de définir de nouveaux ensembles de nombreuses façons) est utile pour parler des groupes (surtout des groupes finis) ? ».

Et puis quelle tête vont faire les mathématiciens non logiciens quand on leur dira que IR est à la fois dénombrable et non dénombrable ?

[invitef07e911d]

Bon c'est effectivement possible que la plupart des résultats auxquelles je pense sont issus de la théorie des modèles...

Alors comment est-ce qu'on peut justifier ça? Si je dis que d'abord on définit la logique mathématique, avec ce qu'on appellerait des entiers et ensembles intuitifs (qui ne nécessite pas de définition car on sait tous ce que c'est) mais qui ne sont pas les ensembles de la théorie des ensembles (donc on ne peut pas utiliser tous les résultats), on définit une notion de preuve et de sémantique toujours avec des objets intuitifs, puis après là dedans on développe la théorie des ensembles et dans celle ci on peut développer n'importe quel autre théorie, comme par exemple la théorie des modèles qui nous donnent les résultats de complétude, de Lowenheim Skolem ou encore d'incomplétude? Est-ce que cette façon de voir les choses serait correct?