Salut chers internautes !
J'ai du mal a résoudre ce problème :
J'ai procédé en disant que :Soit f : R ---> R une fonction telle que f(2x) = f(x) qq soit x€R
Montrer que si f est continue en 0 , alors elle est constante ...
qq x€R , il existe epsilon tel que : x = k*(epsilon) , k€Z*
donc f devient une fonction epsilon-périodique et donc : f(x) = f(x+k(epsilon)) ... mais j'y arrive pas
Aidez moi s'il vous plait, je vous remercie d'avance !
Salut,
Peux-tu montrer que pour tout réelEnvoyé par Jerry.Goolay
et pour tout entier
En raison de l'hypothèse de continuité, la limite de la fonction existe et vaut
d'où
Bonsoir.
Je ne vois pas vraiment à quoi votre epsilon est censé servir, visiblement vous non plus d'ailleurs.
Vous savez que votre fonction est continue en 0 donc vous savez des choses sur f au voisinage de 0, il faut que vous tentiez de vous ramener dans un tel voisinage.
Déjà comme f(x)=f(2x) vous avez par récurrence f(x)=f(2nx)=f(x/2n) pour tout entier n.
On veut montrer que f(x)=f(0) pour tout x, pour cela on va procéder en montrant que pour tout epsilon strictement positif |f(x)-f(0)|<epsilon.
On pose alors un epsilon strictement positif. Par continuité de f en 0 il existe a strictement positif tel que si -a<y<a alors |f(y)-f(0)|<epsilon
Maintenant pour tout x réel, si n est suffisamment grand -a<x/2n<a donc |f(x/2n)-f(0)|<epsilon ce qui permet de conclure.
P.S : Je ne suis pas tout à fait d'accord avec vous Armen92, l'utilisation des pointillés n'est pas une démonstration, vous semblez dire que x/2n=0 si n est assez grand. Pour raisonner ainsi il est absolument indispensable de parler de caractérisation séquentielle de la limite qui n'est possible que parce que f est continue en 0.
Oui, mais il ne veut pas forcément donner la réponse, mais seulement une idée pour la personne qui a posé la question.
