fontions génératrices et loi binomiales

[inviteb7283ac9]

Bonsoir à tous !

Je souhaite montrer à l'aide des fonctions génératrices que si Z=X+Y est la somme de deux variables aléatoires entières indépendantes et si la loi de Z est binomiale alors les lois de X et de Y sont toutes deux binomiales de mêmes parametre p (n et m pouvant differer)


X et Y étant indépendantes, on peut écrire que G_z(s)=G_x(s)*G_y(s) (où G(s) désigne la fonction génératrice)
et comme Z suit une loi B(N,p), on a (sp+1-p)^N=G_x*G_y
Il reste donc à montrer que nécessairement, G_x et G_y s'écrivent respectivement sous la forme (sp+1-p)^m et (sp+1-p)^n
C'est-à-dire que (sp+1-p)^N n'est pas divisible par autre chose que (sp+1-p)^j...

J'aurais donc besoin de votre aide pour achever mon raisonnement

Merci beaucoup pour le temps que vous voudrez bien me consacrer
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[inviteb7283ac9]

sp+1-p est un polynome de degré 1 en s, donc il n'est pas factorisable...d'où le résultat

ça vous semble se tenir ?

[invite57a1e779]

Pas vraiment, il n'y a aucune raison que les fonctions génératrices de X et de Y soient des polynômes.

Si on part de Z qui suit une loi binomiale, et qu'on choisit une variable X indépendante de X, qui ne suit pas une loi binomiale, et qu'on pose Y = Z-X, il me semble que l'on obtient un contre-exemple à ton résultat.

[inviteb7283ac9]

Pas vraiment, il n'y a aucune raison que les fonctions génératrices de X et de Y soient des polynômes.

Si on part de Z qui suit une loi binomiale, et qu'on choisit une variable X indépendante de X, qui ne suit pas une loi binomiale, et qu'on pose Y = Z-X, il me semble que l'on obtient un contre-exemple à ton résultat.

de Z tu veux dire ?

Mais de toute façon les fonctions generatrices ne sont-elles pas par definition des polynomes en s ??
il s'agit en effet de la somme des s^k*P{X=k}...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Mais de toute façon les fonctions generatrices ne sont-elles pas par definition des polynomes en s ??
il s'agit en effet de la somme des s^k*P{X=k}...

Oui, je confondais avec la fonction génératrice des moments.

[invite986312212]

Mais de toute façon les fonctions generatrices ne sont-elles pas par definition des polynomes en s ??
il s'agit en effet de la somme des s^k*P{X=k}...

ce serait vrai si la somme était finie. La fonction génératrice de la loi de Poisson de moyenne lambda est f(s)=exp(lambda(s-1))

[invite57a1e779]

ce serait vrai si la somme était finie. La fonction génératrice de la loi de Poisson de moyenne lambda est f(s)=exp(lambda(s-1))

ambrosio,

Tu as fait comme moi, tu as lu trop rapidement l'énoncé.

Les variables X, Y et Z sont par définitions à valeurs dans N.
La variable Z a une loi binomiale, donc est à valeurs dans un segment [0,N] de N.
La relation Z=X+Y impose alors à X et à Y d'être à valeurs dans des sous-segments de [0,N].
Par suite les sommes qui interviennent dans les fonctions génératrices sont finies: G_X, G_Y sont bien des polynômes.

Il suffit donc de trouver les diviseurs de G_Z(x)=(ps+1-p)^N, ce qui n'est pas très difficile.