Morphismes d'anneaux

invite52487760 · 19/11/2009, 20h38

Bonsoir à tous : :happy3:
Je faos une petite revision de la theorie des corps, et il parait qu'il y'a une grande partie du cours que j'ai oublié, voiçi une question :
Soit $\text{[math]}$ une extension de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Soit le morphisme d'anneaux ( ou de $\text{[math]}$ - algèbres, ou de $\text{[math]}$ - espace vecoriels ) : $\text{[math]}$ definit par $\text{[math]}$ .
Pourquoi si $\text{[math]}$ est injectif, alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Merci de vos reponses !

**God's Breath** · 19/11/2009, 20h47

Bonjour,

Si $\text{[math]}$ est injectif, alors $\text{[math]}$ , ce qui a deux conséquences :

1. $\text{[math]}$ .

2. On peut prolonger $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ en posant $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ (ce qui nécessite de vérifier que la valeur obtenue est indépendante de l'écriture de $\text{[math]}$ ) ; ce prolongement est toujours injectif, donc $\text{[math]}$ .

invite52487760 · 19/11/2009, 21h04

Et qu'est ce que concrètement celà veut dire "God's Breath" ?
Merci de la reponse !

**God's Breath** · 19/11/2009, 21h36

Concrètement, cela veut dire qu'on travaille dans $\text{[math]}$ comme dans $\text{[math]}$ , et dans $\text{[math]}$ comme dans $\text{[math]}$ , en manipulant des polynômes et des fractions rationnelles.

Si $\text{[math]}$ n'est pas injectif, alors $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est le polynôme minimal de $\text{[math]}$ , et on peut se restreindre à ne travailler que sur des polynômes en $\text{[math]}$ dont le degré est strictement inférieur au degré de $\text{[math]}$ .

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