Morphismes d'anneaux

[invitecbade190]

Bonsoir à tous : :happy3:
Je faos une petite revision de la theorie des corps, et il parait qu'il y'a une grande partie du cours que j'ai oublié, voiçi une question :
Soit une extension de et
Soit le morphisme d'anneaux ( ou de - algèbres, ou de - espace vecoriels ) : definit par .
Pourquoi si est injectif, alors et
Merci de vos reponses !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si est injectif, alors , ce qui a deux conséquences :

1. .

2. On peut prolonger à en posant lorsque (ce qui nécessite de vérifier que la valeur obtenue est indépendante de l'écriture de ) ; ce prolongement est toujours injectif, donc .

[invitecbade190]

Et qu'est ce que concrètement celà veut dire "God's Breath" ?
Merci de la reponse !

[invite57a1e779]

Concrètement, cela veut dire qu'on travaille dans comme dans , et dans comme dans , en manipulant des polynômes et des fractions rationnelles.

Si n'est pas injectif, alors où est le polynôme minimal de , et on peut se restreindre à ne travailler que sur des polynômes en dont le degré est strictement inférieur au degré de .

[A voir en vidéo sur Futura]