URGENT: Gaussienne et loi marginale

[legyptien]

Bonjour,

On cherche a connaitre la distribution de r(t)=x²(t)+y²(t).

On a x(t) et y(t) indépendant. Les deux suivent une distribution gaussiennes.

On fait donc le produit des densités de probabilité de x et y pour trouver la loi conjointes et on remplace x²(t)+y²(t) par r²(t). On obtient donc la loi conjointe des deux variables r(t) et teta(t).

Avec Tan(Teta(t))=Y(t)/x(t).

Jusqu'à là ok. Maintenant qu'on a la loi conjointe des deux variables r(t) et teta(t), on la multiplie par r*dteta en utilisant la loi marginale pour trouver la distribution de r(t). Il integre en 0 et 2 pi.

Je ne comprends pas pourquoi il multiplie par r*dteta. Qu il multiplie par dteta seulement je veux bien puis qu il integre apres. dx*dy=r*dr*dteta ca je sais mais la loi marginale dit d integrer sur la variable qu on veut supprimer à savoir teta. Elle dit pas de rajouter des "r".

Merci beaucoup
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[lapin savant]

Salut,
cela n'a rien à voir avec le fait de marginaliser ou pas : c'est le changement de variable classique dans une intégrale quand tu passes d'un repérage cartésien à un repérage polaire.

[legyptien]

Salut,
cela n'a rien à voir avec le fait de marginaliser ou pas : c'est le changement de variable classique dans une intégrale quand tu passes d'un repérage cartésien à un repérage polaire.

sur wikki: "une intégration par rapport à y donne la loi marginale de X.". C est bien la loi marginale.

D'autres part je comprends pas: D'apres wikki, pour avoir la loi marginale d'une variable, on intègre la loi conjointe sur l'autre variable.

Là dans ce que j ai poster, pour obtenir la loi marginale de r, il intègre sur l'autre variable (à savoir teta) mais il multiplie en plus par "r" !!!!

Ce n'est pas ce qui est sur wikki....

[lapin savant]

Ok je comprend ton soucis. Je me suis mal exprimé (par confusion, je l'avoue........).
Mais j'insiste sur le fait que la multiplication qui t'inquiète n'a rien à voir avec la marginalisation !

Elle provient du changement de variable qui a été effectué pour passer des coordonnées cartésiennes aux polaires :
pour t'en convaincre, si est la densité de probabilité du couple , la densité de , définies par le changement de variable et s'exprime




C'est une fois que tu as la loi conjointe des nouvelles variables que la marginalisation est faite. En gros il te manquait une étape : tu allais trop vite en annonçant

On fait donc le produit des densités de probabilité de x et y pour trouver la loi conjointes et on remplace x²(t)+y²(t) par r²(t). On obtient donc la loi conjointe des deux variables r(t) et teta(t).

Avec Tan(Teta(t))=Y(t)/x(t).

(le soucis vient du fait que justement, tu n'as PAS ENCORE la loi conjointe....)

[A voir en vidéo sur Futura]

[legyptien]

Mais j'insiste sur le fait que la multiplication qui t'inquiète n'a rien à voir avec la marginalisation !

Ok je vois pourquoi on s est pas compris. Je suis en train de lire le livre de pozar et le "r" intervient uniquement au moment de la marginalisation.

Je vois, je vais travailler le changement de variable et le jacobien....

Thanks man.

PS: Je poste le développement pour que tu me confirme que Pozar a eu un oubli dans le changement de variable