Limites de sommes

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche à étudier la convergence des suites définies par : et . Pour la première, j'avais pensé à utiliser Cauchy-Schwarz, ma ça n'a rien donné. Auriez-vous une petite indication à donner ?

Dans un problème analogue, j'aimerais montrer que à partir de l'inégalité, que j'ai déjà démontrée, . Je suis sûr que c'est assez simple, mais je ne vois pas comment arriver au résultat ; une petite indication ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,


Pour la première somme, il faut séparer, pour , la somme , et en majorer chacun des termes.

Pour la seconde somme, n'y aurait-il pas une erreur d'énoncé. Tel qu'il est, on a et la suite diverge vers .

[Seirios]

Pour la première somme, il faut séparer, pour , la somme , et en majorer chacun des termes.

Je vais voir de ce côté.

Pour la seconde somme, n'y aurait-il pas une erreur d'énoncé. Tel qu'il est, on a et la suite diverge vers .

Non, il n'y a pas d'erreurs ; il est vrai que je cherchais plutôt une manière de prouver qu'elle convergeait, alors qu'effectivement elle diverge...Cela dit, j'aurais plutôt écrit , plutôt que ; d'ailleurs il me semble que ce dernier résultat est incorrect, non ?

[Seirios]

Non, il n'y a pas d'erreurs ; il est vrai que je cherchais plutôt une manière de prouver qu'elle convergeait, alors qu'effectivement elle diverge...Cela dit, j'aurais plutôt écrit , plutôt que ; d'ailleurs il me semble que ce dernier résultat est incorrect, non ?

Je n'ai rien, je me suis trompé dans le sens de l'inégalité...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Salut,

Pour la première somme, il faut séparer, pour , la somme , et en majorer chacun des termes.

Vraiment super! À première vue, je n'avais pas vu comment borner les termes de cette somme et, peut-être étant donné que je suis en train d'étudier mes critères de convergence de série pour mon cours, j'ai plutôt pensé à tester cette série autrement en définissant la suite des comme la suite des sommes partielles d'une autre suite (dont j'ai trouvé l'expression après un calcul non pas difficile, mais long). Je trouvais qu'à partir d'un certain rang, les deviennent négatifs (impliquant, comme on peut le présager, que la suite des est strictement décroissante à partir de n=3 si je ne me trompe pas) et, puisque les termes pour n>1, on en déduit que la suite doit converger.

Néanmoins, cela est vraiment plus long et moins efficace que votre méthode qui donne même la valeur de la limite de la suite. Il faut se compliquer la vie pour apprécier la simplicité.

Dans un problème analogue, j'aimerais montrer que à partir de l'inégalité, que j'ai déjà démontrée,

Tu peux 'sommer ton inégalité' de k=1 jusqu'à k=n et te rappeler que l'équivalence entre les deux termes signifie que la limite de leur quotient quand n tend vers l'infini est 1 (en fait, se rappeler ça, ce n'est que se donner un indice de comment présenter les choses afin de voir qu'en effet, le quotient tend ici bel et bien vers 1).

[Seirios]

Tu peux 'sommer ton inégalité' de k=1 jusqu'à k=n et te rappeler que l'équivalence entre les deux termes signifie que la limite de leur quotient quand n tend vers l'infini est 1 (en fait, se rappeler ça, ce n'est que se donner un indice de comment présenter les choses afin de voir qu'en effet, le quotient tend ici bel et bien vers 1).

En fait je pensais qu'il y avait moyen de trouver immédiatement que la suite définie par convergeait, ensuite on peut trouver assez facilement l'équivalence en utilisant une seconde fois l'inégalité ; mais l'inégalité permet simplement de borner la suite, et il suffit ensuite de montrer qu'elle est monotone, et donc convergente.

[invite57a1e779]

Il est facile de voir que la suite définie par est monotone.
Il est tout aussi facile devoir que la suite définie par est monotone.
Enfin ces deux suites sont adjacentes.