limites , sommes avec logarithme

[gdm]

bonsoir,

je bloque sur les deux dernieres questions d'un exercice:

pour x réel et n entier on définit la somme Sn=somme(k=1,n)(ln(1+th²(x/2^k))



question 5:montrer que pour x>0 Sn=ln(2^n *th (x/2^n)) - ln(thx)

question 6:determiner lim(n-> +inf) Sn pour x>0 pour x reel



par ailleurs j'ai prouvé dans les questions précedentes que pour x compris dans [0,+inf[

que th<x ou th=x

que x-x^3 /3<thx ou x-x^3 /3=thx (inferieur ou égal)

que ch²x + sh²x =ch(2x) et 2chx*shx=sh(2x)

que 1+th²x=2(thx / th(2x))



jj'ai essayer de developper à l'interieur de logarithme mais je n'aboutie a rien .
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[Flyingsquirrel]

Bonsoir
Si on note les vont se télescoper dans .

[gdm]

c'est bien ce que j'avais fait et sa marche bien merci
pas contre pour la limite doois-je établir plusieurs cas pour x>0?
pour x reel je pense que c'est la meme limite que pour x>0 car thx pour x négatif est negative aussi donc le logarithme n'est pas defini sur R

[Flyingsquirrel]

Pour le cas des x<0 tu peux utiliser la 5) en t'arrangeant pour que le contenu du/des ln soit positif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Il n'est pas demandé de traiter le cas x<0. Ca fait toujours mauvais genre de répondre sur une copie à une question non posée.
Maintenant il n'est pas interdit, loin de là, de se poser la question pour soi-même. Mais il est évident en partant de la formule originelle Sn(-x)=Sn(x) pour tout x donc traiter le cas x>0 ne restreint n rien le cas général.
Maintenant comme on demande une limite en n, x doit être considéré comme fixe don un des deux termes a une limite évidente (c'est une constante) pour l'autre x/2ⁿ tend vers 0 on peut donc faire une approximation de th(x/2ⁿ), puis de 2ⁿth(x/2ⁿ) et d'en déduire la limite de ln(2ⁿth(x/2ⁿ)).