Proba

[invite323995a2]

Bonsoir je suis en ECS 1 et j'ai DS de math samedi matin esentiellement sur les probas. J'essaye de trouver des annales voie Eco pour m'entrainer et j'en ai trouver un qui me semble pas mal

Un restaurant propose 3 menus diférents X, Y,Z et on suppose que chaque client choisit au
hasard l'un quelconque des trois menus, les choix des diérents clients étant indépendants les uns des autres.
Les clients n'étant pas gourmands, chacun d'entre eux ne choisit qu'un seul menu.
Un jour donné, n clients se présentent et on note Xn (respectivement Yn,Zn) le nombre aléatoire de clients
choisissant le menu X (respectivement Y,Z).
1. Quelle est la loi de X2 ? Quelle est la loi de Y2 ? Et celle de Z2 ?
2. Déterminer l'espérance et la variance de X2.
3. Justier que les variables aléatoires Xn, Yn et Zn suivent la même loi. Donner la loi de Xn.
4. Déterminer la loi de la variable alétoire n − Xn.
Exprimer l'espérance et la variance de n − Xn en fonction de E(Xn) et de V (Xn).
5. Que vaut Xn + Yn + Zn ? En déduire la loi de Yn + Zn.
6. Quelle est la probabilité que tous les clients choisissent le même menu ?
7. On suppose que n > 3. Calculer la probabilité que le restaurateur soit obligé de préparer au moins une
fois chacun des trois menus.

Si quelqu'un pourrait me donner les solutions de quelques questions avec l'explication qui va avec ce serait génial.
Merci d'avance.
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[invite61601559]

Loi de X2
2 clients arrivent , chacun a 3 choix de menus et 3 seulement ( pas gourmand dit l'énoncé )
en faisant un arbre il y a 9 possibilités de menus
(X,X) , (X,Y), (X,Z) ( le premier client a choisit X , le deuxième XouYouZ ) ou bien (Y,X), (Y,Z), (Y,Z) le premier a choisi Y l'autre X , ou Y ou Z ou bien (Z,X) , (Z,Y) , (Z,Z) le premier a choisi Z et le deuxième ou X ou Y ou Z

Un arbre montre bien ces 9 cas possibles
La loi de X2 consiste à faire un tableau où sur la première ligne on place 0 puis 1 puis 2 car le nombre de clients ayant choisi X est 0 ou 1 seul ou les deux.
Sur la deuxième ligne on écrit la proba correspondante ainsi
P( X2=0)=4/9 ( aucun a choisi X donc 4 cas favorables sur les 9)
de même P(X2=1)=4/9 ( 1 seul a choisi X donc l'autre Y ou Z)
enfin P(X2=2)=1/9 les deux ont choisi X donc un seul cas favorable
La somme de ces proba doit donner 1 4/9+4/9+1/9=9/9=1
l'espérance mathématiques est E(X2)=0x4/9+1x4/9+2x1/9=6/9=2/3
Pour Y2 et Z2 c'est la même chose , X,Y,Z jouant des rôles symétriques.Donc mêmes loi de proba.
La variance est donnée par V(X) = E(X²) - (E(X))²donc
V(X)= 0²x4/9+1²x4/9+2²x1/9 - (2/3)²=8/9-4/9=4/9 ( ici X=X2 de l'énoncé )
Pour la suite maintenant qu'on a vu ce qui se passait pout 2 clients on généralise à n clients. Xn est le nombre de clients ayant choisi le repas X
on peut les représenter à l'aide d'un arbre ou d'une suite
( C1,C2,C3,......Cn) Ci pouvant prendre les valeurs X, Y ou Z
ex ( X,X,X,X,......,X) chaque client Ci a pris le repas X
idem pour Yn et Zn qui jouent le même rôle que X donc ils ont même loi que Xn
Pour cette loi on met en première ligne le nombre de clients ayant choisi X , il y en a 0 ou 1ou 2 ou....n
donc on place 0 1 2 3 .....n et en dessous leur proba
ex P(Xn=0)= 1/3^n ; P(Xn=1)= n x2^(n-1)/3^n etc
il faut utiliser la combinatoire pour la suite
P(Xn=p)= Comb de p parmi n x ( 1/3)^p x(2/3)^(n-p)
( loi binômiale il y a 2 issues soit le client Ci prend X soit non ))
ex P(Xn=5)= Com 5 parmi n x ( 1/3)^5 x (2/3)^(n-5)
Must go to bed now 'cause I'm tired . J'espère que ceci vous aura éclairé cher inconnu....

[invite61601559]

Je corrige un passage ( erreur dûe à la fatigue )
P(Xn=0)=(2/3)^n ( chaque client C1,C2,....,Cn a 2 choix sur 3 )
P(Xn=1)= n x (1/3)^x ( 2/3)^(n-1)
P(Xn=2)=Comb 2 parmi n x ( 1/3)² x ( 2/3)^(n-2)

( erreur dans la sixième ligne à partir du bas )