Montrer qu'un triangle est équilatéral...

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Tout d'abord bonjour à tous. Je suis des études à distance et n'ayant pas fait le cursus S, j'assimile tant bien que mal les bases des nombres complexe et leurs joyeux lurons!

Ici, j'ai A, B, C trois points distincts du plan complexe dont les affixes sont respectivement a, b et c.

Voilà ce que me demande l'exo:

a) On suppose que a+jb+j²c = 0 ; montrer que ABC est un triangle equilateral. (j et j² sont les racines cubiques complexes de 1, plus precisement j = (-1+i√3)/2. Et... ben j'ai pas d'idée ou je ne sais pas comment le prouver...

J'ai maté cette page: http://fr.wikiversity.org/wiki/Nombr...le_et_argument
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Il suffit de vérifier que la rotation de centre A et d'angle pi/3 transforme B en C.

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Seulement, je ne vois pas comment raisonner avec a+jb+j²c = 0

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Quelle est l'expression complexe, c'est-à-dire sous la forme , de la rotation de centre A et d'angle ?

[A voir en vidéo sur Futura]

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Si j'ai bien relu la portion de cours. En sachant que thêta= pi/3?

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C'est ça, avec puisque le centre de la rotation est le point A.

Peux-tu exprimer en fonction de ?

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Je sais que i= √-1. π/3 est mon "angle de rotation". Et là... Le plus dramatique est que je perçois un lien mais... black out. j --> (-1+i√3)/2. Je dirais -1-j(π/3). Mais sans convictions :/

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Grosse indication : .
Ceci devrait te permettre de déterminer l'image de B par la rotation.

[invite0e4e0ab1]

Donc B = -e^-i π/3 (A - B)

C'est étrange mais je pense que c'est pas ça...

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La rotation de centre A et d'angle a pour expression complexe .
Il te faut vérifier si elle transforme B en C.

[invite57a1e779]

Le point d'affixe a pour image par la rotation le point d'affixe .

Il faut connaître la relation importante ; on voit alors que l'affixe de l'image de est . Cette image par rotation est donc le triangle est équilatéral.

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Et bien un grand merci à toi God's breath! J'ai travaillé de mon côté et ce n'est pas du tout ça. Ca me permet de mieux saisir le raisonnement! Merci encore!

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Une autre petite question, pour étudier la réciproque, c'est à dire -θ = -π/3. Je reprends le même raisonnement avec Zb = A. Une transformation de C en B cette fois-ci?

[invite57a1e779]

Je ne comprends pas de quelle réciproque tu veux parler.

La question est :

a) On suppose que a+jb+j²c = 0 ; montrer que ABC est un triangle equilateral.

Aucune réciproque n'est envisagée.

[invite0e4e0ab1]

Je demande ça car à la deuxième question on me demande d'étudier la réciproque. J'ai effectivement vu qu'il pouvait ne pas y avoir de réciproque. Je regardes comment je peux affirmer ça...