Developpement limité

[invite3761e3aa]

Bonsoir a tous,

je suis en licence de physique et on fait les developpements limités, et je ne comprend rien a la definition et suis donc legerement largué pour les exercices...

"soit f : I -> R ; n entier naturel appartenant a I, on dit que f admet en a un developpement limité a l'ordre n s'il existe un polynome Pn tel que De(Pn) inférieur a n et un nombre D strictement positif et donc fonction E : ]-D,D[ -> R, lim(t -> a) E(t)=0
tel que Quelque soit c apprtenant a ]a-D;a+D[,
f(x) = P(x-a)+(x-a)^n E(x-a) "

C'etait donc la definition de mon cours, et jignore totalement d'ou sort D et quel est son role... et du coup j'arrive a faire aucun exo..
Y a t il une relation avec la formule de taylor-lagrange ?

Si quelqu'un peut m'expliquer, please !! merci beaucoup
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[invite1862204a]

Bonsoir a tous,

je suis en licence de physique et on fait les developpements limités, et je ne comprend rien a la definition et suis donc legerement largué pour les exercices...

"soit f : I -> R ; n entier naturel appartenant a I, on dit que f admet en a un developpement limité a l'ordre n s'il existe un polynome Pn tel que De(Pn) inférieur a n et un nombre D strictement positif et donc fonction E : ]-D,D[ -> R, lim(t -> a) E(t)=0
tel que Quelque soit c apprtenant a ]a-D;a+D[,
f(x) = P(x-a)+(x-a)^n E(x-a) "

C'etait donc la definition de mon cours, et jignore totalement d'ou sort D et quel est son role... et du coup j'arrive a faire aucun exo..
Y a t il une relation avec la formule de taylor-lagrange ?

Si quelqu'un peut m'expliquer, please !! merci beaucoup

bien,la tangente en un point a de la courbe d'une fct f est-si elle existe-:y=mx+n ceci se traduit par:au voisinage de a la courbe de f et la tangente en a sont confondues et on peut calculer une valeur de l'inconnue au voisinage de a par l'expréssion de f ou par celle de la tangente.Est ce que c'est clair?(on dit ausi les deux expressions sont équivalentes au voisinage de a )
Et au lieu d'un polynome de degres 1 au voisinage de a on cherche un de degres n .
C'est l'idée des DL au voisinages d'un réel donné a!

[invite61601559]

T'es sûr que ce n'est pas E:]a-D,a+D[->R intervalle centré en " a "?
Ici D est un nombre strictement positif quelconque on l'appelle ainsi pour avoir un intervalle centré en a normalement

[invite61601559]

Commence à voir les exos sur DL où a=0 donc des DL à l'origine , l'idée est de trouver un polynôme P qui approche au mieux sur un petit intervalle autour de 0 la fonction ( ou autour de a ) . Sur le graphique le courbe est " presque confondue avec sa tangente au voisinage de 0 .
Ex au voisinage de 0 on a exp x = 1+x+x²/2 +E(x) ou E(x) tend vers 0 si x tend vers 0
Voir formule de Taylor Lagrange ( prendre h=x et a =0)
Pour x petit autour de 0 on peut confondre expx avec y=x+1 par ex

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61601559]

Le mieux regarde les formules" toutes faites " celles qu'on doit savoir par coeur sin x = x-x3/3! +x5/5! +....
cosx=1-x²/2!+x4/4! -.... applique la formule de Mac Laurin à ces fonctions , c'est facile il suffit de connaître les dérivées successives de cos , sin , exp