Primitive : Cas subtils intéressants

[Bleyblue]

41)

k IN: k > 2

La résolution est similaire à celle du cas précédant :

1)Si k est impaire
On se ramène à :

donc en posant
y = cos x
dx = dy/(- sin x)



2) Si k est paire

Sachant que sin² x = 1 - cos² x =

on peut poser
y = tg x
dx = dy / (1 + y^2)



mais de nouveau pour éviter de longs calculs on préfère utiliser la formule :



42)
=
=
=

43)

k IN : k > 2

=

=

=

Pour la seconde primitive on réapplique la méthode jusqu'a obtenire k =1 ou bien k = 2.
Pour la première on pose

y = tg x
dx = dy/(1 + y&#178

=

(suite au message suivant ...)
-----

[Bleyblue]

44)




posons y = cos x
dx = - dy/ sin x



45)


de même que pour la primitive n°44) on a :



posons y = sin x
dx = dy/cos x



(suite au message suivant ...)

[Bleyblue]

46)
, f(x) étant une fonction rationnelle en cos x et sin x.

Les primitives de 36 à 45 ne sont donc que des cas particuliers de celle-ci.

On se ramène à intégrer une fonction rationnelle :

a) En posant y = cos x si la fonction est impaire en sin x (si on remplace sin x par - sin x dans f(x) cela ne change que le signe de f)
Exemple : c.f primitive n°44

b) En posant y = sin x si la fonction est impaire en cos x
Exemple : c.f primitive n°45

c) En posant y = tg x si f est paire en cos x ou (inclusif) sin x
Exemple : c.f primitive n°40 (k impaire)

d) Dans les autres cas on pose y = et on dispose alors des égalités suivantes :









Ce dernier changement de variable fonctionne (a priori)dans tous les cas mais en général les cas précédants permettent de simplifier les calculs

Exemple :



La fonction n'appartenant à aucun des 3 permiers cas posons y = tg(x/2)

dx = 2dy/(1 + y²)
sin x = 2y/(1 + y²)



ce qui est une primitive facile à calculer

(suite au message suivant ...)

[invite3c81b085]

moi, j'ai un truc qui fonctionne du tonerre pour calculer les primitives: j'utilise Maple!

[Bleyblue]

Oui mais ça n'est plus amusant alors ...

[Bleyblue]

47)

f(x) étant une fonction rationnelle en sh(x) et ch(x).

On peut poser y = th(x/2) et on dispose alors des égalités suivantes :







notez qu'on peut parfois s'en tirer en remplaçant sh x et ch x par leurs définitions.
Exemple :


et en posant y = e^x on trouve :

=

(les primitives de 48 à 51 traitent des réciproques de fonctions trigonomtriques)

48)

par partie :





=
la primitive qui en résulte est immédiate (il suffit de poser y = 1 - x&#178

De même pour :



=
...

(suite au prochain message ...)

[Bleyblue]

49)

Par partie :





=

=

50)
(n )





=

La primitive qui en résulte se calcule comme ceci :

posons x = cos y, dx = - sin y dy

comme y = Arccos x on a bien sin y > 0 et donc

=

ce qui est une primitive déja rencontrée

On procède de la même manière pour :


(n )

51)
(n )





=

La primitive résultante est une fraction rationnelle (c.f primitive n°28)

(suite au prochain message...)

[Bleyblue]

(les primitives 52 à 57 traitent de cas qui se traitent facilement par intégration par partie)

52)







=

On continue ainsi jusqu'a ce que l'exposant du terme en x atteigne zéro dans la primitive.

Exemple pour n = 1 et a = 1 :



=

La primitive : se calcule de façon similaire.

53)





=

La primitive se calcule de façon similaire

54)








De même que pour la primitive 52), on continue ainsi jusqu'a ce que l'exposant du terme en x atteigne zéro.

(suite au prochain message ...)

[Bleyblue]

55)















En ajoutant : aux deux membres
:









La primitive :

se calcule de la même manière

56)








On continue ainsi jusqu'a ce que l'exposant du logarithme soit égale à zéro.

Exemple pour n = 1 :



57)

et n différent de - 1









Et pour le cas particulier n = -1 :



posons y = lnx
dx = xdy