On considère la fonction f définie sur ]-1;+infini[ par f(x) = x - ln(1+x)
1) étudier le signe de f sur ]-1;+infini[. On pourra étudier les variations de f sur ]-1;+infini[
2) a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul on a ln[1+(1/n)]< 1/n
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, on a [1+(1/n)]^n < e
Donc pour la question 1) j'ai trouver f '(x) = 1 - [1/(1+x)] = x/(1+x)
Le signe de la fonction est f(x)>0
Mais pour la question 2 je n'arrive pas a démarrer.
Bonsoir,
ta dérivée est correcte.
Pour justifier le signe de f(x), j'espère que tu as étudié le signe de la dérivée. La dérivée s'annulle en x=0.
Comme f'(x) est négative (donc f décroissante) sur ]-1,0] et positive (donc f croissante) pour x0, la fonction f admet un minimum qui est atteint pour x = 0. Ce minimum est f(0) = 0. Donc
Pour la 2.a, il faut t'aider de la 1.
Tu y as montré :
Ne vois_tu pas un lien avec ce qu'on te demande? Ce que tu as montré dans la 1. est plus général que ce qu'on te demande là. 1/n est un réel qui ne s'annulle pas!
Pour la 2.b, il faut partir de la 2.a, utiliser une propriété de la fonction ln et utiliser la fonction exponentielle.
