Les logarithmes courbes et asymptotes !

[invite3b09ac13]

soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
par f(x)= -x+7+6ln(2x+1)-6ln(2x+2).
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0;i;j).

1-justifier que f est définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +00[

2- déterminer la limite de f en -1/2
En déduire que la courbe C admet pour aymptote une droite D dont on précisera l'équation.

3-en remarquant que, pour tout x de l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
6ln(2x+1)-6ln(2x+2)= 6ln [(2x+1)/ (2x+2)]
déterminer la limite de f en +oo.

4- soit D' la droite d'aquation y=-x+7
a/ quelle est la limite de [f(x)-(-x+7)] lorsque x tend vers +oo?
en donner une interprétation graphique.
b/étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D'.

5-a/ Montrer que, pour tout x supérieur à -1/2,
f'(x)=(-2x²-3x+5)/(2x+1)(x+1)
où f' désigne la fonction dérivée de f.
b/étudier le signe de f' et dresser le tableau de variation de f.

6-soit T la tangente à la courbe C au point M d'abscisse 0.Déterminer une équation de la droite T.

Mes Réponses:
1- f est définie sur l'intervalle ]-1./2 ; +oo[
car f(x) éxiste si et seulement si 2x+1 supérieur à 0 de même pour 2x+2
donc il faut que x soit supérieur à -1/2 et x supérieur à -1. d'ou Df= ]-1/2 ; +oo[.

2- déterminons la limite de f en -1/2:
je ne suis vraiment pas sure!
lim -x+7= 15/2
quand x tend vers -1/2
et lim 6ln *(2x+1)/(2x+2)+ ln 0^6
donc lim f(x) = 15/2 quand x tend vers -1/2.
pour l'asymptote je n'ai pas trouvé!

3- la limite en +oo c'est -oo car lim -x+7=-oo 6ln (2x+1)/(2x+2)=+oo quand x tend vers +oo.

4- y=-x+7
a/ lim de [f(x)-(-x+7)] quand x tend ver +oo c'est d'après le résultat trouvé précédemment +00 -(-x+7) donc +oo.

b/la position c'est pa rapport à la différence de [f(x)-(-x+7] = 6ln (2x+1)/(2x+2)
le signe est positif donc C est au dessus de D' sur ]-/2 ; +oo[

2a/ je en trouve pas f'(x)
b/ étudions le signe de f' avec le tableur de variation:
-2x²-3x+5 est une fonction polynome:
cherchons le discriminant :
b²-4ac= (-3)²-4(-2)(5)=49 soit 2racines distincts= x'=1
x"=-4, -4 ne sera pas sur le tableau de variation car il n'appartient pas a Df.
donc f est décroissante sur ]-1/2 ; 1[ et est croissante sur ]1 ; +oo[.(en regardant le tableau)

6- la tangente: formule y= f'(a) (x-a) +f(a)
au point d'abscisse 0 donc y=f'(o)(x-o)+f(o)
calcul de f'(o): f'(o)= (-2*o -3*o+5)/(2*o+1)(o+1)=5
calcul de f(o): f(o)=-o+7+6ln(2*o+1)-6ln(2*o+2)
f(o)=7+ 6ln1 - 6ln2= -6ln2+7 car ln1=o.
donc y=(5)(x-o) + (-6ln2+7)=5x-6ln2+7 je pense pas que se soit sa.
Merci de bien vouloir corriger mes erreurs. . .
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[nissart7831]

1- f est définie sur l'intervalle ]-1./2 ; +oo[
car f(x) éxiste si et seulement si 2x+1 supérieur à 0 de même pour 2x+2
donc il faut que x soit supérieur à -1/2 et x supérieur à -1. d'ou Df= ]-1/2 ; +oo[.

OK, mais pour être plus complet, on pourrait dire :
La fonction qui à x associe -x+7 est définie sur
La fonction ln est définie sur
Donc, ln(2x+1) est défini si 2x+1>0 i.e. si x>(-1/2) et
ln(2x+2) est défini si 2x+2>0 i.e. si x>(-1).

En conclusion, f est définie sur

2- déterminons la limite de f en -1/2:
je ne suis vraiment pas sure!
lim -x+7= 15/2
quand x tend vers -1/2
et lim 6ln *(2x+1)/(2x+2)+ ln 0^6
donc lim f(x) = 15/2 quand x tend vers -1/2.
pour l'asymptote je n'ai pas trouvé!

Je suppose que le + devant le ln 0 est un = !
Première chose, tu ne dois pas écrire ln 0 car ça n'existe pas puisque ln n'est pas définie en 0.
Ce que tu peux dire, c'est



en posant



Et c'est bien ce que tu fais : quand x tend vers (-1/2), u tend vers 0. Mais tu vois, ici, on n'écrit pas de ln(0).

Je te laisse conclure pour la limite de f. Et ce n'est pas celle que tu avais trouvée.
Et après tu devrais trouver plus facilement l'asymptote.

3- la limite en +oo c'est -oo car lim -x+7=-oo 6ln (2x+1)/(2x+2)=+oo quand x tend vers +oo.

Le résultat est juste, mais la justification est fausse.
Déjà, avec ce que tu as écrit, tu ne pourrais pas conclure car on aurait une forme indéterminée pour la limite : - + +.
Mais en fait ta limite du ln est fausse. Une astuce, simplifie la fraction dans le ln.

4- y=-x+7
a/ lim de [f(x)-(-x+7)] quand x tend ver +oo c'est d'après le résultat trouvé précédemment +00 -(-x+7) donc +oo.

Comme la limite du ln dans le 3/ est fausse, celle-ci aussi.

b/la position c'est pa rapport à la différence de [f(x)-(-x+7] = 6ln (2x+1)/(2x+2)
le signe est positif ...

C'est faux. Par exemple, si x = 0,

qui est négatif car ln(t) < 0 quand t < 1.
Donc étudie le signe du ln en étudiant la fraction par rapport à 1 (puisque c'est la valeur où la fonction ln s'annulle).

2a/ je en trouve pas f'(x)

Dérive chacun des ln (attention, (ln(u))' = u'/u), puis le reste et réduis au même dénominateur.

b/ étudions le signe de f' avec le tableur de variation:
-2x²-3x+5 est une fonction polynome:
cherchons le discriminant :
b²-4ac= (-3)²-4(-2)(5)=49 soit 2racines distincts= x'=1
x"=-4, -4 ne sera pas sur le tableau de variation car il n'appartient pas a Df.
donc f est décroissante sur ]-1/2 ; 1[ et est croissante sur ]1 ; +oo[.(en regardant le tableau)

Ta deuxième racine est fausse. Mais bon, la vraie aussi serait exclue car elle est en dehors du domaine de définition.
Donc la seule racine qu'on considère est bien 1.
Mais ton sens de variation de f est faux. Etudie bien le signe de la dérivée.
D'ailleurs les limites de f calculées plus haut peuvent te mettre sur la voie.

6- la tangente: formule y= f'(a) (x-a) +f(a)
au point d'abscisse 0 donc y=f'(o)(x-o)+f(o)
calcul de f'(o): f'(o)= (-2*o -3*o+5)/(2*o+1)(o+1)=5
calcul de f(o): f(o)=-o+7+6ln(2*o+1)-6ln(2*o+2)
f(o)=7+ 6ln1 - 6ln2= -6ln2+7 car ln1=o.
donc y=(5)(x-o) + (-6ln2+7)=5x-6ln2+7 je pense pas que se soit sa.

Pourquoi utilise-tu des o au lieu de 0

L'équation de ta tangente est correcte.

[invite3b09ac13]

Merci beaucoup pour ces renseignements! je my remet dessuite !

[invite3b09ac13]

je n'arrive pas a faire la position relative pouvez vous m'aidez sil vous plait?

[A voir en vidéo sur Futura]

[nissart7831]

Qu'essaye tu de faire quand tu veux faire la position relative de la courbe par rapport à l'asymptote y=-x+7 ?