Primitive : Cas subtils intéressants

**Bleyblue** · 06/06/2005, 23h10

Bonjour,

Voilà, j'ouvre ce topic pour vous demandez si vous avec des cas intéressants de primitives à me faire calculer

?
J'en cherche de partout mais j'en trouve de moins en moins.

En fait je cherche des cas un peu "farfelus", mais elles doivent être exprimables (donc si j'en invente la plupart du temps elles ne sont pas exprimales et donc je perd mon temps ...)

Voilà par exemple quelque cas intéressants que j'ai trouvé :

(k entier naturel)

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Voila, donc si vous avez des cas semblables à proposer (juste pour le plaisir de les calculer

), je veux bien ...

merci !

**BioBen** · 07/06/2005, 00h42

J'avais mis celles là :
http://forums.futura-sciences.com/th...tml#post269428
Et puis t'as aussi
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
qui entrainent bien mais un peu long (pas dans le style de mon prof quoi)

$\text{[math]}$ qui se fait ultra rapidement par partie.

**Bleyblue** · 07/06/2005, 16h41

$\text{[math]}$ n'est pas dur en posant x = sin t
C'est d'ailleurs à partir de celle là que j'ai imaginé :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ je connais aussi et les autres je vais essayer

merci !

**Bleyblue** · 07/06/2005, 17h00

$\text{[math]}$

En posant t = sin x on se ramène à :

$\text{[math]}$

Faut mnt que je me débrouille pour intégrer ça ...

Comme le degré du numérateur est plus grand je dois faire une division euclidienne normalement non ?

Heu, quelqu'un peut il me rappeler comment on fait ça ? J'ai oublié ...

merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**BioBen** · 07/06/2005, 18h58

En posant t = sin x on se ramène à :

Je pense que c'est un peu rapide, tu peux faire une petite simplification avant ca. Bien spur après ca reviendra au même avec ta technique, mais bon je te dis juste comment moi j'ai fait...(ca me permet de pas avoir à faire de division euclidienne).

Pour une rappel sur la division euclidienne bah tu écris tes deux polynomes avec les barres de divisions, et tu divises

Apres tu obitnes P(x) + T(x)/Q(x) et oh miracle T(x) est de degré infereur à Q(x)

Il doit y avoir des sites internet qui expliquent ca mieux que moi (les-mathématiques.net je crois).

invitec314d025 · 07/06/2005, 19h24

Envoyé par Bleyblue

Comme le degré du numérateur est plus grand je dois faire une division euclidienne normalement non ?

Heu, quelqu'un peut il me rappeler comment on fait ça ? J'ai oublié ...

rien de bien compliqué.
Tu procèdes par étapes en faisant disparaître à chaque fois le terme de plus haut degré.
Si tu veux diviser (-t^3 + 3t² + 3t - 3) par (2t² - 3t - 2), tu commences par éliminer le -t^3, ce qui te donne un -t/2 dans le quotient. Il te reste 3t²/2 + 2t - 3. Tu veux éliminer le 3t²/2 donc il te faut un 3/4 dans le quotient. Tu ne peux pas aller plus loin, il te reste le polynôme 17t/4 - 3/2
Tu as donc:
(-t^3 + 3t² + 3t - 3) = (2t² - 3t - 2)(-t/2 + 3/4) + (-t/2 +3/4)

**Bleyblue** · 07/06/2005, 22h26

ok, merci pour ta réponse mathias

En fait j'ai revu par moi même et j'ai bien réussit par comprendre.

Pour voir un peu j'ai essayé de calculer :

$\text{[math]}$
Elle est amusante aussi, je tombe sur :

$\text{[math]}$

Envoyé par BioBen

Je pense que c'est un peu rapide, tu peux faire une petite simplification avant ca

Ah, bon alors je vais essayer de simplifier

merci

**Bleyblue** · 07/06/2005, 23h44

J'y suis :

$\text{[math]}$
d'où en posant t = sin x

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Si ça ce n'est pas une jolie solution ...

Suffit pour aujourd'hui, bonne nuit !

**BioBen** · 07/06/2005, 23h57

Je trouve pas ca du tout du tout ...

invitec314d025 · 08/06/2005, 01h10

Moi je trouve un truc qui ressemble (à quelques détails près).
Mais on est pas obligé de faire passer les constantes qui sont devant les logs à l'intérieur ce qui donne ces ignobles puissances

**invite4793db90** · 08/06/2005, 01h34

Envoyé par BioBen

Il doit y avoir des sites internet qui expliquent ca mieux que moi (les-mathématiques.net je crois).

Et nous les matheux de FSG, on compte pour des prunes...

**BioBen** · 08/06/2005, 11h02

Moi je trouve un truc qui ressemble (à quelques détails près).

Euh ...
$\text{[math]}$
avec t= sin(x)

De chaque coté on décompose en élement simple (le dénominateur se factories en -2(t-2)(t+1/2)
Donc au final on trouve comme solution :
$\text{[math]}$

Et nous les matheux de FSG, on compte pour des prunes...

invitec314d025 · 08/06/2005, 11h41

Envoyé par BioBen

Euh ...
$\text{[math]}$
avec t= sin(x)

De chaque coté on décompose en élement simple (le dénominateur se factories en -2(t-2)(t+1/2)
Donc au final on trouve comme solution :
$\text{[math]}$

Oui on est d'accord (avec peut-être une valeur absolue dans le ln), mais ça n'est pas nécessairement incompatible. En utilisant une méthode légèrement différente, on a vite fait d'obtenir un résultat équivalent écrit de manière plus compliquée.
Je pense que Bleyblue a voulu faire apparaître:
$\text{[math]}$ qui est de la forme f'/f
et ensuite décomposer le reste en élément simple.

**BioBen** · 08/06/2005, 11h50

un résultat équivalent écrit de manière plus compliquée.

Ooui enfin un truc en puissance 9 et racine 20ème ...
Enfin bon je sais même pas si c'est plus rapide moi ca me prend 7/8 lignes donc c'est pas dramtique. Bref, c'est pas super important, tant que ca entraine

invitec314d025 · 08/06/2005, 11h57

Envoyé par BioBen

Ooui enfin un truc en puissance 9 et racine 20ème ...

Ca c'est juste une blague à la Bleyblue

Passe les en constantes devant le log, et ça devient plus présentable.

**Bleyblue** · 08/06/2005, 12h53

Envoyé par BioBen

De chaque coté on décompose en élement simple (le dénominateur se factories en -2(t-2)(t+1/2)
Donc au final on trouve comme solution :
$\text{[math]}$

Ta réponse est juste. Il faut donc supposer que nos deux réponses sont équivalentes à une constante près (va t'en savoir laquelle

)

Envoyé par Matthias

Ca c'est juste une blague à la Bleyblue
Passe les en constantes devant le log, et ça devient plus présentable.

Moi je trouve ça plus beau de passer la constante en exposant

...
Ainsi par exemple, plutôt que d'écire :
$\text{[math]}$

j'écris :

$\text{[math]}$

C'est plus compact et plus joli je trouve mais bon, c'est juste mon point de vue ...

**invite4793db90** · 08/06/2005, 13h13

Envoyé par Bleyblue

Ainsi par exemple, plutôt que d'écire :
$\text{[math]}$

j'écris :

$\text{[math]}$

C'est plus compact et plus joli je trouve mais bon, c'est juste mon point de vue ...

Salut,

il faut aussi remarquer que le domaine de définition est affecté: ]2, +oo[ pour la première forme, ]-oo, -2[u]2, +oo[pour la seconde. Ca peut être important dans certains cas.

Cordialement.

**Bleyblue** · 08/06/2005, 13h16

Ah oui pas bête. Et alors si je fais :

$\text{[math]}$
c'est juste ?

merci

**invite4793db90** · 08/06/2005, 13h54

Je pointais la différence car il est primordial avant toute chose de savoir sur quel ensemble on veut déterminer une primitive.

Dans ta dernière expression, la valeur absolue étend le champ de définition à IR\{-2,2}. Rien ne dit cependant que c'est encore une primitive de la même fonction. Je te laisse vérifier.

**Bleyblue** · 08/06/2005, 18h01

Ah oui, mais si on ne précise pas l'ensemble alors je suppose que l'on peut accepter l'une ou l'autre de ces réponses comme solution ...

Sinon pour :

$\text{[math]}$

D'après ma calculatrice ça fait $\text{[math]}$ mais je ne comprend pas bien pourquoi ... Vous avez une idée ?

Et $\text{[math]}$ c'est une immédiate

merci

**BioBen** · 08/06/2005, 18h58

D'après ma calculatrice ça fait Pi/4 mais je ne comprend pas bien pourquoi ... Vous avez une idée ?

Un maginfique subtil changement de variable te permet de la faire en une petite ligne de rien du tout

c'est une immédiate

Attention en bas c'est un cos². Mais bon ca en reste une immédiate

**Bleyblue** · 08/06/2005, 21h21

Oups pardon.
Dans ce cas on pose t = cos² x
dx = dt/(-2sin(x)cos(x)) = dt/(-sin(2x)) et zou c'est bon.

Pour l'autre je ne vois pas, mais je vais chercher un peu

**BioBen** · 08/06/2005, 21h47

zou c'est bon.

En fait y'a même pas besoin de changement de variable car cos² = 1/2 + (cos(2x)) /2
qui quand tu le dérives donne -sin(2x) qui est ce que tu as au dessus

Donc au finale cette primitive donne e^{-cos²(x)}

Pour l'autre je ne vois pas, mais je vais chercher un peu

Je t'ai dit c'est subtil mais très très (méga) rapide.

**Bleyblue** · 08/06/2005, 22h03

Ben j'ai réussit à transformer ça en :

$\text{[math]}$ ce qui ne m'avance à rien

Sinon il faut bien passer par une primitive ?

**BioBen** · 08/06/2005, 22h12

ce qui ne m'avance à rien

Normal c'est pas ca qu'il faut faire

Il faut faire un changement de variable très simple qui te simplifieras tout ca

Je peux pas trop te donner d'indiaction vu que après c'est immédiat...

invitec314d025 · 08/06/2005, 22h17

Envoyé par Bleyblue

Sinon il faut bien passer par une primitive ?

Ce n'est probablement pas la méthode la plus rapide

**Bleyblue** · 08/06/2005, 22h58

ah. Bon je pense que j'ai une petite idée, vais essayer ça mais demain car la je fatigue ...

invite11ca0426 · 10/06/2005, 20h51

Bonjour

Petit nouveau sur le forum, élève de TS et normalement futur élève de MPSI, je me suis posé depuis pas mal de temps une question, à savoir : quelles sont les primitives de la fonction f(x)= exp(cos(x)) ?

Après m'être moi-même très vite cassé les dents dessu, j'ai cherché partout la réponse, introuvable. J'ai même essayé sur "the integrator" (http://integrals.wolfram.com/) en vain...

Je sais que le calcul intégral devient vite complexe pour les fonctions pas très banales, mais en grand naïf, je me suis dit que pour des gens assez compétents, ça devait être faisable, surtout que la fonction en question n'a rien de monstrueux...

Merci de vos éventuelles réponses.

NB : ne me demandez pas pourquoi cette fonction là en particulier, je n'en ai aucun idée !

invite88ef51f0 · 10/06/2005, 20h58

Salut,
Cette primitive ne doit pas être explicitable à l'aide de fonctions usuelles, mais si tu y tiens vraiment, tu peux chercher du côté des fonctions de Bessel (on peut exprimer exp(cos(x)) comme une somme infinie de ces fonctions).

**Bleyblue** · 11/06/2005, 09h54

Non elle n'est pas explicitable, d'ailleurs je pense qu'avec un changment de variable tu te ramènes à une primitive dont on sait qu'elle est inexprimable

Primitive : Cas subtils intéressants

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