Primitive : Cas subtils intéressants

[invite8f53295a]

Et vive l'intégration par parties !
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[Bleyblue]

Eh oui, je n'y avais pas pensé. Ca donne donc :



merci

[Bleyblue]

Et si j'ai :



la décomposition en élément simple donne-elle bien :



?

merci

[invite9c9b9968]

C'est nickel il me semble

[Bleyblue]

Ok merci.
Je tombe sur un joli système d'équation pour déterminer toutes ces constantes ...

[Bleyblue]

Quelle intégrale de fou ...
J'y ai travaillé des heures, et après une dizaine de feuilles de brouillons et trois pages pour le net je tombe sur la bonne réponse :



Je la conseille vraiment à ceux qui désirent se tester/s'entraîner. Pas que cela pose un problème niveau intégration mais pour ce qui est de la décomposé en éléments simples c'est pas évident je trouve ...

[Bleyblue]

Oh regardez en voila une belle :



Malheureusement le polynôme du dénominateur n'est pas facotrisable dans IR alors pour décomposer en éléments simples bonne chance.

Sinon on peut le transformer en : mais après ça ?

merci

[invitec314d025]

Malheureusement le polynôme du dénominateur n'est pas facotrisable dans IR alors pour décomposer en éléments simples bonne chance.

Un polynôme de degré strictement supérieur à deux est toujours factorisable dans IR, donc pour un polynôme de degré 4 tu peux le factoriser au minimum en produit de deux polynômes du second degré.

[invite4793db90]

Salut,

je livre l'astuce: x⁴+x²+1=(x⁴+2x²+1)-x²=...

Cordialement.

[Bleyblue]

Un polynôme de degré strictement supérieur à deux est toujours factorisable dans IR, donc pour un polynôme de degré 4 tu peux le factoriser au minimum en produit de deux polynômes du second degré.

Ah bon je ne savais pas ça moi ...
Donc en fait si j'essaie de calculer par exemple :


Je peux y arriver sans faire usage de nombres complexes (même si ça prendra 10 pages ) ?

je livre l'astuce: x4+x²+1=(x4+2x²+1)-x²=...

Oui en fait ça se factorise : (x² - x + 1)(x² + x + 1)

merci

[invitec314d025]

Donc en fait si j'essaie de calculer par exemple :


Je peux y arriver sans faire usage de nombres complexes (même si ça prendra 10 pages ) ?

Oui, on peut le faire. Mais entre savoir qu'une factorisation existe et la trouver, il y a un gouffre

[Bleyblue]

Ahhhh mais c'est intéressant ça

On pourrait donc inventer un polynôme de degré supérieur à 2 (et donc factorisable) dont il est impossible de trouver la factorisarion en un temps raisonnable ?

Par exemple si je prend un polynôme (complet) de degré 152. Il est factorisable mais peut être qu'il faudrait des siècles pour y arriver ?

merci

[invitead065b7f]

Salut,

Ce qu'on sait faire en théorie et algorothmiquement, c'est trouvé les racines d'un polynôme de degré 4. Au dessus, il a été prouvé qu'on ne pouvait pas trouver de formule qui donne une racine. (grâce à la théorie de Galois).

Par contre, le problème pratique de trouvé des racines ne se ramène presque jamais à utiliser les formules (connais tu Maple ? Il les donnes sous forme RootOf et ne donne pas la forme exacte qui est abominable le plus souvent). On connait aussi des critères pour savoir qi lepolynome admet des racines rationnelles... En fait, je pense qu'on réduit le problème un peu, mais je ne connais pas de méthode générale pour trouver les racines d'un polynôme quelconque (un algorithme n'est pas forcément une formule...).

Un petit test amusant si tu as un logiciel de calcul : essaie avec des polynômes un peu grand (part de degré 10 par exemple).
D'ailleurs je me met à faire des tests tout de suite, et je te dis ce que Maple en pense tout à l'heure.


Amicalement
Moma

[Bleyblue]

Je n'ai malheureusement pas de logiciel de calcul symbolique (c'est que ça coûte assez cher ... )

Merci pour ta réponse

[invitead065b7f]

Voilà, après quelques petits tests, il se trouve que Maple possède un algorithme numérique pour trouver les racines des polynômes de heut degré (un exemple est la méthode de newton).

Pas question ici de trouver les vrai valeurs des racines, mais on peut en trouver des approximations aussi précises que l'on veut.

Pour te donner un ordre d'idée, cet fonction de factorisation à un temps de calcul environ proportionnel (sur le pc sur lequel je suis) à deg(P)^2/28000. Enfin pour des valeurs de deg(P) comparables à celles de ton exemple.


Amicalement
Moma

[Bleyblue]

En tout cas, j'espère qu'un jour je serais capable d'en concevoir moi aussi, des algorithmes pareils, je trouve ça très chouette

Sinon ben moi au début je parlais de factoriser le polinôme, c'est un problème différent que de déterminer les racines non ?

merci

[invite0f5c0a62]

En tout cas, j'espère qu'un jour je serais capable d'en concevoir moi aussi, des algorithmes pareils, je trouve ça très chouette

Sinon ben moi au début je parlais de factoriser le polinôme, c'est un problème différent que de déterminer les racines non ?

merci

en es tu si sur...

une fois factorisé, ton polynome à forcément les mêmes racines qu'avant (puisque c'est le même polynôme écrit d'une façon différente), or, pour annuler ton polynôme, il suffit qu'un des facteurs soit nul, donc en trouvant les racines de ce polynôme, on a aussi sa décompostion

prend a, b c les 3 racines d'un polynôme P(x), tu peux le factoriser en P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(...) et tu as bien P(a) = 0, P(b) = 0 ...

[invite0f5c0a62]

Pour l'algorithme regarde un peu la tronche d'un polynôme dans R, en fait, même avec des degré super élevé, y'a tout un tas de propriétés intéressante, c'est continue, ça se dérive autant fois qu'on veut, c'est génial.

Selon ce que l'on t'as dit dans les différents post, tu devrais déjà a peu près être convaincu que tout polynôme de R s'écrit comme facteur de polynôme de degré 1 (avec une racine réel) ou 2 (avec pas de racine réel mais 2 racines complexe).

donc au final, tu as un nombre limité de racines, ce qui est plutôt sympa aussi.

Après tu utilises la formule des dérivées de pôlynôme (pas trop dur à forumuler) et tu "regardes" quant elle change de signe ça te donne les varaiations. il s'agit alors de définir des intervalles contenant une seule racine par le théorème des valeurs intermédiaires, et pour chaque intervalle, tu utilises une méthodes d'approximation (y'en a plein)

normalement, tout ça tu le connais, tu peux donc le programmer avec un langage pas trop compliqué et ça doit marcher (perso, je l'ai fait pour des polynômes dans R² c'est à dire à 2 variables, mais ça calcule très lentement).

Bon évidemment tes programmes auront surement des limites d'applications, et ne te donneront qu'une approximation des racines, mais c'est déjà pas mal

[Bleyblue]

une fois factorisé, ton polynome à forcément les mêmes racines qu'avant (puisque c'est le même polynôme écrit d'une façon différente), or, pour annuler ton polynôme, il suffit qu'un des facteurs soit nul, donc en trouvant les racines de ce polynôme, on a aussi sa décompostion

prend a, b c les 3 racines d'un polynôme P(x), tu peux le factoriser en P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(...) et tu as bien P(a) = 0, P(b) = 0 ...

Ah oui d'accord mais alors il faudra prendre les racines complexes en considération. Moi je pensais qu'on se limitait aux réèlles

Sinon pour l'algorithme il faudra sans doute attendre un peu car pour le moment je ne connais que visual basic 6(pas très bien adapté à la programmation scientifique) et alors j'ai des notions de C et C++ mais je ne maitrise pas encore donc ...

merci !

[invitec314d025]

Ah oui d'accord mais alors il faudra prendre les racines complexes en considération. Moi je pensais qu'on se limitait aux réèlles

A partir des racines complexes, tu peux reconstituer un produit de polynômes rééls de degré au plus 2 ...
Je te laisse voir pourquoi.

[Bleyblue]

Parce que si on a une racine complexe (a + bi) il suffit de le multiplier par son conjugé pour tomber sur un polinôme réél ?

Sinon c'est dommage on s'écarte du sujet d'origine (c'est de ma faute je sais), j'ai de belles primitives qui se présentes à l'horizon la, je vais peut être avoir besoin de poster ici et les deux sujets vont se mélanger ...

[Bleyblue]

Oui et donc :





Pensez vous que je puisse combiner les deux arctg en un seul grâce à la fameuse formule :



?

Je ne pense pas car il y a des conditions assez restrictives sur le membre de gauche mais ce serait quand même plus joli

merci

[invitec314d025]

Pensez vous que je puisse combiner les deux arctg en un seul grâce à la fameuse formule :
[...]
Je ne pense pas car il y a des conditions assez restrictives sur le membre de gauche mais ce serait quand même plus joli

Quand tu n'es pas sûr, essaye, dérive le résultat obtenu, et regarde si tu retombe sur tes pieds.

[Bleyblue]

Ou plutôt je demande à ma calculatrice de dérivé, elle fait ça mieux et plus vite

merci

[Bleyblue]

Voilà encore un cas tordu :



J'ai bien pensé à factoriser :


Mais comme ce gros polynôme du cinquième degré n'admet aucune racine réélle je suis bloqué ...

Avez vous une idée ?

meci

[invitec314d025]

Pourquoi ne pas le mettre sous cette forme:

?

[Bleyblue]

Ahhhhhhhh super
Comme quoi des fois il ne faut pas se compliquer la vie

merci

[Bleyblue]

Voilà une horreur (même pour moi qui pourtant aimes les long calculs ... ) :



Normalement la méthode de BS fonctionne (c.f message 61) mais c'est horriblement long et difficile (après plus d'une heure à essayer et réessayer je ne suis toujours nul part)

Connaissez vous une méthode plus rapide ?

merci

[invitead065b7f]

Salut,

En utilisant la méthode du post 61, on trouve la formule de récurence :



Voilà.

En 5 minutes le reste du calcul est fait.
(NB : Maple semble me donner raison, mais je n'ai pas refait tout les calculs)

Amicalement
Moma

[Bleyblue]

Tu es sûr de la formule ? Moi j'ai aussi procédé ainsi mais j'ai plutôt :



non ?

merci