Primitive : Cas subtils intéressants

[invite77e86f54]

tu sais qu il ya des machines qui font tres bien ce que tu fais?????
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[Bleyblue]

Je doute fort que les personnes qui ont conçu le programme pour la machine ne savaient pas elles même résoudres ces intégrales.

D'autre part je devrai absolument savoir les résoudres pour l'année prochaine, et pour couronner le tout ça m'amuse donc c'est doublement pas du temps perdu ...

[Bleyblue]

Oh dites je viens de parvenire à calculer :





Amusant ça, je ne savais pas qu'elle était exprimable celle la ...

[Bleyblue]

J'ai aussi réussit à calculer :


en posant t = sin x ce qui évite d'avoir une réponse avec tg (x/2) et je tombe sur :

[invitea77054e9]

Bleyblue tu sembles largement maitriser les techniques de primitivation classiques, tu pourrais t'attaquer à la théorie de l'intégration à présent, tu y trouveras des exercices bien plus intéressants et moins rébarbatifs que le calcul de primitive (à part en partiel, et en terminale, je n'en ai jamais calculé une seule...bien trop ennuyant).
Tu te donnes du mal pour un truc qui te servira que très rarement, alors qu'il y a des sujets bien plus intéressants et autrement plus utiles sur lesquels tu pourrais t'acharner .
Enfin, c'était juste une idée qui me passait par la tête, désolé si c'est déplacé.

[matthias]

Oui, faut avouer que, à moins de vouloir remplacer Maple, tu devrais t'en sortir sans problème maintenant

[Bleyblue]

Oui mais si je continue c'est surtout car je dois savoir les résoudres pour l'année prochaine

De toute façon j'en ai presque fini, il me reste une série (que je vient de commencer) sur les primitives de fonctions trigonométriques, une autre sur les fonctions hyperboliques, et une troisième qui récapitule tout (trigonométriques, rationelles, immédiates, par partie ...) et ensuite se sera bel et bien terminé ...

[invite77e86f54]

on peut savoir pourquoi tu dois ttes les savoir pour l an prochain ou pas?ca m interesse de savoir quelle formation demande cela...

[Bleyblue]

Ces primitives la viennent du cours de math de première année d'informatique à l'université de Bruxelles.

L'année prochaine j'envisage soit l'informatique soit les mathématiques et dans un cas comme dans l'autre je devrais connaîtres ces primitives ...

[Bleyblue]

Dites pour :

je tombe sur :

avec t = tg(x).

Vous ne connaitriez pas un moyen pour simplifier l'Arctg et la tg malgré le b/a qui multiplie cette dernière ?

merci

[Bleyblue]

Oui bon on s'en fiche c'est pas bien grave je laisse comme ça.

Par contre si j'ai :

et que je dois discuter en fonction de a et b (constantes réélles différentes de zéro).

A votre avis je dois discuter comment ?
Moi je dirais :

cas 1) (a + b) > 0, (a - b) > 0
cas 2) (a + b) < 0, (a - b) > 0
cas 3) (a + b) > 0, (a -b) < 0
cas 4) (a + b) <0, (a - b) < 0

Mais je ne suis pas sûr. Qu'en pensez vous ?

merci

[merou]

Bonjour,

le calcul des primitives n'interesse plus personne aujourd'hui car les méthodes numériques et l'ordinateur sont là pour le faire

[Bleyblue]

Ben parle pour toi, moi ça m'intéresse toujours ...
Mais je me demande bien s'il est possible de concevoir un logiciel qui calcul des primitives sans savoir sois même les calculer ...

[Rincevent]

bonsoir,

Mais je ne suis pas sûr. Qu'en pensez vous ?

avant tout et surtout, je séparerais le cas a=b...

ensuite, tu peux factoriser et te ramener à truc/(1 + w t²) où w est (a+b)/(a-b)...

le calcul des primitives n'interesse plus personne aujourd'hui car les méthodes numériques et l'ordinateur sont là pour le faire

non, même pour les gens pour qui les maths sont juste un outil, une formule analytique est bien plus appréciée qu'un résultat numérique... c'est beaucoup plus précis, plus souple et plus transportable. Sans parler de toutes les subtilités potentiellement cachées par un calcul numérique (erreurs humaines de codage, inévitables erreurs numériques, etc).

pour illustration, je connais personnellement quelqu'un qui a trouvé un bug dans mathématica. Pourtant c'est pas le logiciel le moins sûr...

[Bleyblue]

avant tout et surtout, je séparerais le cas a=b...

ensuite, tu peux factoriser et te ramener à truc/(1 + w t²) où w est (a+b)/(a-b)...

J'avais en effet oublié le cas a = b.
Mais sinon pour la factorisation il faut prendre en compte le signe de w. Parce que s'il est négatif on a une solution avec un log tandis que s'il est positif on a une arctg.

Et comme w = (a+b)/(a-b) on se ramène à mes 4 cas ci-dessus non ?

merci

[Rincevent]

Et comme w = (a+b)/(a-b) on se ramène à mes 4 cas ci-dessus non ?

désolé, j'avais pas trop réfléchi (je répondais surtout au commentaire suivant) et le signe de w se ramène bien aux cas dont tu parlais...

à ceci près qu'il faut pas non plus oublier a+b=0... sans parler du fait que j'ai défini le w à l'envers de ce que j'ai mis dans l'extrait d'équation...

[Bleyblue]

Ah ok, je vais faire ça et yop finie avec cette primitive casse pied (t = tg(x/2), ça provient d'une primitive de fonctions trigonométriques)

merci

[Bleyblue]

Voilà voilà, les modérateurs m'ont permis de créer un (petit ?) résumé des techniques d'intégration ici (qui sera changé de place par la suite) donc j'y vais :

A) Intégration immédiate

Voici les primitives de base :

1) et k différent de - 1

2)

3) et a différent de 1

en particulier si a = e

4)

5)

6)

7)

8)


9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

(Voilà, la suite au prochain message )

P.S. : Mon message précédent a été posté par erreur. Un modérateur aura il l'amabilité de bien vouloir l'effacer ?
un grand merci

[Bleyblue]

- B) Intégration de certaines classes de fonctions

(les primitives de 18 à 23 généralisent les primitives immédiates de 15 à 19)

18)

en posant y = x/a
dx = ady



19)

en posant y = x/a
dx = ady





et 1 + y

de même pour 1 - y, et on a donc (après simplification des termes 1/a) :



20) (c.f la primitive n° 19)

21)

en posant y = x/a
dx = ady



=

=

=

22)

en posant y = x/a
dx = ady

=

=

23)

en posant y = x/a
dx = ady

=

(la suite au message suivant ...)

[matthias]

Il n'y aurait pas quelques restrictions sur les domaines de définition à ajouter pour certaines ? Notamment tout ce qui est à base de Arcsin, Arccos, etc.
Encore un peu de courage, et tu pourras même nous sortir un PDF nickel-chrome avec tous ces résultats, les démos et des méthodes générales

[Bleyblue]

En effet, je n'ai pas pensé à prendre garde au domaine
J'aurais sans doute aussi du préciser que a est un réel différent de zéro.

Je vais essayer de faire plus attention à ça dans la suite et pour celles la je suppose qu'on pourra rectifier

[Bleyblue]

(les primitives de 24 à 28 concernent l'intégration de fractions rationnelles)

24) a,b IR⁰ k IN\{0,1}

posons y = ax + b
dy/a = dx

=

=

si k = 1 on a :

=
=



25) a,b,c,d IR ⁰

=

(c.f. primitive n° 24)
et pour :


posons y = cx + d
dy/c = dx

et x = (y - d)/c

=

=

(Je suis un peu pressé par le temps donc suite au prochain message ...)

[Bleyblue]

26)
a,b,c IR.
De plus a,b sont différents de 0 sinon on se ramène à un cas déja rencontré

Soit A,B et C des constantes réelles
On aura trois cas différents, selon les valeurs du discriminant du polynôme du dénominateur.

-
Dans ce cas on peut le factorise comme ceci : (Ax + B)²

Exemple : 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²

On se ramène donc à une primitive immédiate (c.f primitive n° 23)

-
On écrit le polynôme sous la forme (Ax + B)² + C
Il suffira donc de poser y = Ax + B pour se ramener à la primitive n° 18

Exemple :



donc en posant y = 3x + 2
dx = dy / 3

= = ...


On écrit le pôlynôme sous la forme (Ax + B)² - C
En posant y = Ax + B on se ramène à la primitive n° 20

Exemple :


posons y = x + 2
dy = dx

= = ...

Notons pour terminer que si a est négatif il suffit de mettre - 1 en évidence.

ex : 2 - 4x - 4x² = -(4x² + 4x - 2) = - ((2x + 1)² - 3) = 3 - (2x + 1)²

27)

(a,c,d IR⁰), b,e IR)
On remarque que (cx² + dx + e)' = 2cx + d
on peut donc procéder ainsi :

(ax + b) =
=



La première primitve est immédiate :
posons y = cx² + dx + e
dx = dy/(2cx + d)

=

La deuxième primitive est la même que celle du n°26

(suite au prochain message ...)

[Bleyblue]

28)



ou P(x) et Q(x) sont des polynômes en x.
Les primitives 24), 25) 26), 27) ne sont donc que des cas particuliers (à priori plus simples) de celui ci.

La difficulté consiste à décomposer la fraction rationnelle en une somme de fractions simples.

Voici comment procédé :

-a) Si le degré de P est plus grand que le degré de Q, on effectue la division euclidienne des deux polynômes et on aura donc :

P(x) = A(x).Q(x) + R(x)
R(x) ayant un degré inférieur à Q(x).

On se ramène donc à :



La première primitive est immédiate, pour la seconde voir le point b) :

-b) Si le degré de P est strictement inférieur au degré de Q on factorise Q en polynômes de degré 1 et polynômes irréductibles (dans IR) de degré 2.
On peut alors écrire le rapport P(x)/Q(x) ainsi :

Si (ax + b) est un polynôme de multiplicité k de Q on a les k termes :



(A, B, C .. K sont des constantes à déterminer)
Si ax² + bx + c est un facteur de multiplicité m de Q on rajoute :



(d,e,f,g,h, ... M,N) sont des constantes à déterminer.

Voici quelques exemples de décomposition en fractions simples (qui permettent aussi de comprendre comment calculer les constantes) :

1)


x³ + 1 peut se factoriser comme ceci : x(x² + 1)
x est un polynôme de degré un de multiplicité 1
x² + 1 est un polynôme de degré 2 irréductible multiplicité 1

On a donc :



Comment faire pour déterminer A et B ?
Simplifions par x³ + x dans le permier et le dernier terme de cette égalité. On tombe sur :

1 = A(x² + 1) + x(Bx + C) = Ax² + A + Bx² + Cx

Pour que les deux membres soient égaux, il faut que les coefficients des termes de même degré soit égaux. Comme 1 = 0x² + 0x + 1 on a

A + B = 0
C = 0
A = 1

qui est un système d'équations à trois inconnues facile à résoudre

A = 1, B = -1, C = 0

Donc :


Si on veut calculer :



il suffit donc de calculer :



qui sont deux primitives immédiates ...

2)


Le polynôme du dénominateur est déja factorisé
Le degré du polynôme du numérateur est inférieur à celui du dénominateur donc pas de division euclidienne

(x + 1)² est un polynôme de degré 1 de multiplicité 2
(x² + x + 1) est un polynôme de degré 2 de multiplicité 1

Donc



Avec :

A(x +1)(x² + x + 1) + B(x² + x + 1) + (Cx + D)(x + 1)² = x - 1

Ax³ + Ax² + Ax + Ax² + Ax + A + Bx² + Bx + B + Cx³ + 2Cx² + Cx + Dx² + 2Dx + D = 0x³ + 0x² + x - 1

A + C = 0
2A + B + 2C + D = 0
2A + B + C + 2D = 1
A + B + D = - 1

Il suffit donc de résoudre ce sytème pour déterminer la décomposition en fractions simples de la fraction rationelle (et on se ramène donc à trois fonstions simples à intégrer)

3)


Une division euclidienne est requise ici.
En divisant le numérateur par le dénominateur on trouve :



Donc :



x³ -x² + x - 1 = (x² + 1)(x - 1) et donc :



Pour trouver A, B et C :

(Ax + B)(x - 1) + Cx² + C = 5x² - 4x + 1

etc.

(Suite au message suivant ...)

[Bleyblue]

(les primitives 29 et 30 généralisent les primitives 21, 22, 23)

29)


(ax² + bx + c) > 0
a,b,c IR, a différent de zéro

On ramène le polynôme ax² + bx + c à : A² - x², x² - A², x² + A² selon le signe du discriminant, comme expliqué à la primitive n° 26)

Exemple :



1 -x - x² = - (x² + x - 1) =

donc en posant y = x + 1/2 on a :


...

30)
a,b,c,d,e IR
a,c différent de zéro
(ax² + bx + c) > 0

Par la méthode donnée à la primitve 27) on écrit ax + b sous la forme :

ax + b =

et donc on a :



Pour la deuxième primitive voir le cas précédent.
Pour la première primitive on pose :
y = cx² + dx + e

dx = dy/(2cx + d)

et donc :



(suite au message suivant ...)

[Bleyblue]

(les primitives de 31 à 35 traitent des fonctions du type : P(x) étant une fonction quadratique

31)

a IR⁰
Procédons par partie :














en ajoutant aux deux membres de l'égalité on tombe sur :



et donc :



32)
a IR⁰
x

Primitives similaire au cas précédant :











33)
a IR⁰
x

Primitive similaire aux deux cas précédants :











(suite au message suivant ...)

[Bleyblue]

34)

a,b,c IR⁰

On ramène le polynôme ax² + bx + c à : A² - x², x² - A², x² + A² selon le signe du discriminant, comme expliqué à la primitive n° 26)

Exemple :





posons





= ...

35)

a,b,c IR⁰

On ramène la primitive à une fonction rationnelle :

- si a est > 0 on pose


-si a est < 0 on pose
(s est une des racines du polynôme)

Exemple :



posons








=

=

=

Ce qui est une fraction rationnelle qui peu se calculer (en décomposant en fractions simples) comme ceci :



Pour calculer A,B,C et D on dispose donc de :

A(y + 1)(-2y² + y - 2) + B(y - 1)(-2y^2 + y - 2) + (Cy + D)(y - 1)(y + 1) = 0y³ -4y² + 2y - 2

On développe et on égale les coefficients des termes de même degré (en y) de chaque côté de l'égalité pour tomber sur un système de quatre équations à quatre inconnues en A,B,C,D ce qui nous permet de continuer à résoudre la primitive.

(suite au message suivant ...)

[Bleyblue]

35)


où f(x) est une fonction rationnelle en des puissances de x à coefficients rationnels.
Il suffit de calculer le plus petit commun multiple k des dénominateurs des exposants de ces puissances et de poser x = y^k pour tomber sur une fraction rationnelle en y

Ex :
1)

(x > 0)

cette fonction est rationnelle en x^2/1 + x^1/2
ppcm(1,2) = 2

on pose donc
x = y²
dx = 2y dy



= ...
2)

rationnelle en x^1/1, x^1/2, x^1/3
ppcm(1,2,3) = 6

posons x = y⁶
dx = 6t⁵dy


= ...

(suite au prochain message ...)

[Bleyblue]

(les primitives de 36 à 46 traitent des fonctions trigonométriques)

36)

En utilisant les formules de Simpson :

cos(x)cos(y) =

=

de même pour :

sin(ax)sin(bx)
sin(ax)cos(bx)

on dispose des formules :

sin(x)sin(y) =

sin(x)cos(y) =

37)

k Q\{0,-1}

posons y = sin x
dx = dy/cos x

=

De même pour :

il suffit de poser y = cos (x)

38)

En utilisant les formules de bissection :



=

de même pour :

cos²(x) on a :



(suite au prochain message ...)

[Bleyblue]

39)

=

donc en posant y = cos x
dx = -dy/sinx

=

de m&#234;me pour


il suffit de poser t = sin x pour tomber sur :



40)

k IN : k > 1

1) Si k est impaire :


(k-1 est donc un nombre naturel paire)

=
posons y = sin x
dx = dy/cos x



et il suffit de d&#233;velopper pour tomber sur un polyn&#244;me en y facile &#224; int&#233;grer.

2) Si k est paire :

=

sachant que

on peut poser y =tg x
dx = dy/(1 + y&#178

=

Cette primitive peut se calculer en utilisant :



pour la premi&#232;re primitive on r&#233;applique la formule jusqu'a obtenire k = 1 et pour la seconde on proc&#232;de par partie :





...

Cette m&#233;thode pouvant donner lieu &#224; des calculs longs et assez compliqu&#233;s on peut pr&#233;f&#233;rer utiliser les formules de bissection (voir primitive n&#176;38) pour lin&#233;ariser cos^k x

Exemple :


4 est paire. On a donc :







= ...

(suite au message suivant ...)