Section d'un cylindre par un plan

[toondek]

Bonjours à tous, j'ai un problème de math que je n'arrive pas à résoudre:
Dans un repère orthonormé OXYZ on considère le cylindre d'axe OZ et de base circulaire R=6
1)Montrer que la section de ce cylindre par un plan (P) faisant un angle alpha avec OZ, alpha différent de 0 et 90°, est une ellipse dont on précisera les axes ainsi que les valeurs de a et b (a étant la longueur du grand axe et b du petit)en fonction de alpha et R.
(méthode: on prendra un point M sur le cercle de base et on considéra M', le point correspondant sur la section; montrer alors que les coord. de M' vérifient l'équation d'une ellipse...)
2) Application numérique: alpha=45° et le plan (P) passe par le point O' (0,0,4).
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[toondek]

Personne ne sait comment prouver qu'il s'agit d'une ellipse?

[ansset]

bonsoir,
commence à faire un petit dessin pour te mettre l'exercice en tête.
le plan fait un angle avec OZ mais pas ailleurs.
donc c'est la mème chose d'ecrire que la pente du plan est orientée en x.
donc tu peux te placer "de profil" en x et z et tracer une coupe ( tel un samourai ) en biais comme si tu coupais deux traits verticaux ( cylindre vu de coté ).
ensuite , tu joues avec les equations

plan: ax+by+cz+d=0
hors si tu te place dans le plan en face du plan y, celui ci n'a plus d'importance pour la coupe
donc simplement ax+cz+d=0
ou en simplifiant z=ax+b
( rien à voir avec les a et b demandés plus loin )

ensuite tu peux suivre les indications données à savoir prendre un point sur l'intersection à la fois dans le plan et sur le cylindre.

[toondek]

Merci pour t'as réponse ansset mais j'ai encore du mal à comprendre comment tu fais. Est-ce que tu pourrais dévellopper un peu plus sltp...?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Merci pour t'as réponse ansset mais j'ai encore du mal à comprendre comment tu fais. Est-ce que tu pourrais dévellopper un peu plus sltp...?

je pense qu'il peut y avoir plusieurs approches.
le plan n'étant incliné que verticalement j'ecrit qu'il est en x et z.

le plus simple est de faire un changement de repère avec X dans le plan et Z perpendiculaire , l'axe centré sur le (0,0,0)du nouveau repère.
si theta est l'angle avec x.
et z=Ax+B=tg(theta)x+B ( inclinaison du plan )

hors on a ( changement de repère )
x=Xcos(theta)-Zsin(theta)
z=Xsin(theta)+Zcos(theta)+B

evidemment ( but recherché ) on retrouve Z=0 pour tout point M à l'intercection .
d'ou
x=Xcos(theta)

le cylindre lui nous dit:
x²/R²+y²/R²=1

d'ou
X²cos²(theta)/R² +y²/R²=1
ce qui est l'equation d'un elipse avec
petit coté R
grand coté R/cos(theta)

mais si tu avais fait le petit dessin proposé ( vu de coté et de dessus ), le resultat est visible tout de suite.

[ansset]

j'ai relu si alpha est l'angle avec 0z
alors mon theta vaut evidement pi/2 -alpha

[toondek]

désolé pour le retard, mon ordinateur a cramé, j'ai due en acheté un autre.
Merci j'ai tout compris.