Aire d'une sphère par intégrale

[invite64e915d8]

Bonjour,

J'ai manifestement fait une erreur de calcul mais je n'arrive pas à la trouver :

Je considère une demi-sphère, puis un petit triangle isocèle dont le sommet est confondu avec le sommet de la demi-sphère et la base est une partie de la section de la DS.

La hauteur du triangle vaut et sa base vaut . Ce triangle a une aire
J'addition plusieurs petits triangles jusqu'à faire le tour de la DS ce qui me donne:



Donc je trouve qu'une sphère a un volume

C'est dommage, deux de mes termes ne collent pas à la vraie formule Une idée ?
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[mécano41]

Bonjour,

En raison de la symétrie, tu peux calculer la surface d'un huitième de sphère :

- regarde le schéma joint
- exprime la petite surface ds
- intègre sur et sur
- multiplie par 8

Cordialement

[invite64e915d8]

Pourquoi calculer le 8ème d'une sphère en passant par des coordonnées sphériques !?
A la limite je veux bien mais j'aimerais aussi comprendre pourquoi mon raisonnement me donne un faux résultat

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

... La hauteur du triangle vaut ...

D'où cela vient-il ? (question bête, je le sens )

et sa base vaut . Ce triangle a une aire

OUPS !
Pour l'aire de ce triangle il te manque un 2 (au dénominateur), si tu prends les expressions que tu as proposées.


Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

OUPS !
Pour l'aire de ce triangle il te manque un 2 (au dénominateur), si tu prends les expressions que tu as proposées.

En effet, mais cela ne corrige pas le fait qu'il y a un dans l'expression de l'aire de la demi-sphère. Sinon, texanito parle d'un 'triangle courbe' et donc la 'hauteur' de ce triangle correspond au quart de la circonférence d'un grand cercle.

[Duke Alchemist]

Merci Universus de ces précisions.

Je n'ai étudié que la géométrie euclidienne dans mon cursus et ne me suis que très peu lancé dans la topologie mais l'aire d'un triangle courbe se calcule-t-elle de la même manière qu'un triangle plan ?
Si c'est une (autre) question bête

Sinon par les coordonnées sphériques cela se fait en trois coups de cuillères à pot ... Serait-ce la raison pour laquelle elles portent ce nom ? (je précise que je connais la réponse à cette question là )

Duke.

[invite64e915d8]

Bah je pense que l'aire est la même car si on découpe ce petit triangle courbe dans une sphère en papier on pourrait parfaitement l'étaler sur la table et avoir un triangle tout ce qu'il y a de plus normal

Effectivement j'avais oublié le 2 au dénominateur dsl

Mais comme universus la dit, c'est le pi qui me chiffone le plus xD

[Universus]

Le problème me semble surtout être que tu considères que la superficie de ''triangles sphériques'' est donnée par la même formule que pour des ''triangles euclidiens''. Si on nomme et ce que tu as appelé ( , étant l'angle au sommet d'un triangle sphérique ou, de façon équivalente, de sa projection sur le plan contenant le grand-cercle frontière de la demi-sphère), on doit obtenir pour l'aire d'un infinitésimal triangle sphérique alors que tu as (suite à la correction de l'aire d'un triangle par Duke Alchemist) . Clairement, il y a un problème et cela est dû à la géométrie de la sphère qui est différente de la géométrie euclidienne.

J'essaie de me redériver l'équation permettant de calculer la superficie d'un solide de révolution, mais bon quand on apprend des techniques plus générales et plus pratiques, on oublie

Une bonne technique pour trouver la superficie d'une sphère est de passer par les coordonnées sphériques. Alors là, tu peux calculer directement la superficie ou, sinon, calculer le volume et dériver cette expression par rapport au rayon de la sphère pour trouver son volume. Autrement, vu que je sais que tu cherches à comprendre spécifiquement où se trouve ton erreur dans ta démarche, peut-être devrais-tu regarder l'équation générale des superficies de surfaces paramétrées lisses, donnée par la relation



où z est la fonction hauteur de la surface en fonction des coordonnées x et y et dA est dx.dy ou dy.dx selon le choix utilisé. D est la projection de la surface d'aire A sur le plan Oxy (pour trouver cette formule il faut passer par un peu de calcul vectoriel). Sinon, je cherche toujours (sans aller jeter un oeil dans mes livres) comment retrouver l'aire d'un solide de révolution, alors là tout s'expliquerait pour les triangles courbes.

[Bruno]

Je ne comprend pas : on parle d'aire ou de volume pour finir ?

[invite64e915d8]

Il est question d'aire depuis le début

Oki bah je crois que je devrai attendre un peu pour comprendre la démonstration de cette formule car je ne connais ni les double intégrales ni le calcul en coordonnée sphérique

[Duke Alchemist]

Bah je pense que l'aire est la même car si on découpe ce petit triangle courbe dans une sphère en papier on pourrait parfaitement l'étaler sur la table et avoir un triangle tout ce qu'il y a de plus normal

Si je considère un angle au sommet de 90°, les autres angles valent 90° aussi... genre "triangle tout ce qu'il y a de plus normal", bof
Délire du soir... bonsoir.

EDIT : Eh ben voilà je savais bien qu'il y avait un bug de géométrie euclidienne/non-euclidienne. Merci Universus

[Bruno]

Il est question d'aire depuis le début

Hum, dans ce cas je ne vois pas où se trouve ton triangle isocèle. Avec un dessin ça irait mieux

Sinon sans passer par les coordonnées sphériques, suffit d'intégrer les périmètres de cercles de la base jusqu'au sommet.

[invite64e915d8]

Si je considère un angle au sommet de 90°, les autres angles valent 90° aussi... genre "triangle tout ce qu'il y a de plus normal", bof
Délire du soir... bonsoir.

EDIT : Eh ben voilà je savais bien qu'il y avait un bug de géométrie euclidienne/non-euclidienne. Merci Universus

Et alors ? C'est pas interdit un triangle rectangle xDD

EDIT : connaissez vous un programme pour faire de jolis schémas comme mécano41 ??

[Universus]

Par exemple, ici . Je vais 'tricher' un peu en me permettant de passer par les coordonnées cylindriques (ou polaires), sans aller jusqu'aux coordonnées sphériques (qui, soit dit en passant, sont parfaitement pour l'étude des sphères vu que c'est conçues pour prendre avantage à fond des symétries de la sphère ^^), on a donc . On a avant tout et . En passant par les coordonnées polaires, on a :

et

Ainsi, en n'oubliant pas le jacobien dans le changement de variables pour le calcul de dA :



Soit

La dernière étape est justifiée par le fait que l'intégrande est indépendante de l'angle. L'intégrale en r se fait assez bien avec deux changements de variables (je fais les changements de variables personnellement ^^) et donne .

Disons donc que plus généralement, on a . Pour une demi-sphère, on a le résultat souhaité. Pour un triangle sphérique infinitésimal, on aurait . Clairement, la géométrie sphérique diffère de la géométrie euclidienne, mais ce n'est pas trivial de quelle façon (d'où mon intérêt à retrouver le cas spécifique des solides de révolution ^^)

[Universus]

Hum, dans ce cas je ne vois pas où se trouve ton triangle isocèle. Avec un dessin ça irait mieux

Sinon sans passer par les coordonnées sphériques, suffit d'intégrer les périmètres de cercles de la base jusqu'au sommet.

Tu as raison, mais texanito a, je pense, son intérêt aussi dans un calcul de l'aire d'une demie-sphère qui passe implicitement par les coordonnées cylindriques puisque texanito utilise la symétrie de la demie-sphère par rotation autour d'un axe disons ici vertical. Les triangles en question sont les triangles ayant pour sommet le sommet de la demie-sphère et pour base un petit élément de la circonférence du grand cercle, mais les triangles sont entièrement contenus sur la surface de la demie-sphère (bref, les deux autres côtés des triangles sont des quarts de circonférence de grands cercles de la sphère totale).

On peut procéder néanmoins comme tu dis en posant :

, le radical étant de souvenir pour avoir déjà eu la réflexion de texinito important puisqu'il prend en compte le fait qu'on ne coupe pas la sphère est des ''anneaux'' ou ''tubes'' qui ont la même hauteur.

Edit : Pour texanito, dans mon message précédent, le jacobien n'est que le r seul dans l'intégrale, alors à moins que ça t'intéresse, ne sois pas trop impressionné si c'est le cas par le terme 'jacobien' ^^

[Universus]

Merci Bruno, ton intervention m'aura permis de retrouver ce que je cherchais ^^ (du moins, de faire le lien qui ne me venait pas)

texanito, il est certain que fondamentalement tu dois passer par une intégrale double pour calculer une surface, car après tout, la surface étant étendue sur au moins deux dimensions, il faut que l'intégrale puisse se rapporter à toutes les dimensions en jeu. Néanmoins, les intégrales doubles ne sont pas plus complexes, l'idée étant des calculs d'intégrales simples qui se succèdent (l'intégrale définie d'une fonction selon une certaine dimension, soit un certain axe de ton système de coordonnées, devient l'intégrande de l'intégrale selon l'autre dimension).

Ainsi, quand tu disais (à tort, mais bon là n'est pas la question) que , tu faisais ensuite une intégrale selon la dimension qui est un axe enroulé en forme de cercle. Néanmoins, implicitement, le calcul de dA passait par une intégrale selon l'axe qui est perpendiculaire en tout point au deuxième axe*.

Enfin bon, revenant à l'intégrale de mon précédent message, il y a une intégrale définie cachée dans l'intégrande et qui est le calcul de la circonférence d'un cercle

On peut modifier cela quelque peu en considérant où est l'angle au sommet d'un triangle sphérique. Ainsi, l'intégrale de l'aire d'un triangle sphérique est :



Le est typique du calcul d'intégral en coordonnées polaires, le r étant le jacobien du passage d'un calcul d'intégrale selon les coordonnées cartésiennes à celui du calcul d'intégrale selon les coordonnées polaires. Le radical est là pour désigner la longueur d'une portion infinitésimal d'un grand cercle tracé sur la surface de la sphère et l'intégrale de toutes ces infimes longueurs donnerait la longueur totale de la courbe.

Un théorème important en calcul des intégrales multiples est le théorème de Fubini qui nous dit quand on peut inverser l'ordre de deux intégrales. Ici, la situation satisfait au théorème de Fubini et on peut donc permuter l'ordre des sans changer les bornes d'intégrations (puisqu'il s'agit de constantes) et permuter aussi et , on obtient, au changement de variable près, bel et bien l'intégrale que j'ai donnée dans mon premier message.

Bref, toutes ces démarches se valent et proviennent d'une formule générale (plus générale un peu en fait que celle que j'aie donnée) de la superficie des surfaces paramétrées (c'est-à-dire qu'on caractérise par un ensemble de vecteurs dont les composantes sont des fonctions d'un certain paramètre, cela nous permettant de dépasser le cadre des surfaces qui ne peuvent être représentées par des fonctions de x et y comme c'est le cas ici).

* Je te recommande fortement de lire sur les coordonnées au moins polaires (ou cylindriques, c'est presque pareil) ; ça serait plus clair que ce que je dis ici, étant donné que tu as utilisé un système de coordonnées à peine différent, je dois néanmoins chercher à traduire l'idée des coordonnées polaires à ton système de coordonnées à toi ^^

Edit : Pour info, z'_r signifie la dérivation par rapport à la variable r de la fonction z, toute autre variable dont z pourrait être fonction étant considérée constantes vis-à-vis r. Bref, il s'agit d'une dérivée partielle de z par rapport à r.

[Bruno]

On peut procéder néanmoins comme tu dis en posant :

, le radical étant de souvenir pour avoir déjà eu la réflexion de texinito important puisqu'il prend en compte le fait qu'on ne coupe pas la sphère est des ''anneaux'' ou ''tubes'' qui ont la même hauteur.

Ou encore en utilisant l'angle entre un des axes et le rayon R :

texanito, il est certain que fondamentalement tu dois passer par une intégrale double pour calculer une surface, car après tout, la surface étant étendue sur au moins deux dimensions,

J'allais faire la même remarque sur la présence d'une intégrale simple avec un unique paramètre pour un volume (ou aire), mais après tout ça n'a rien de choquant.

[mécano41]

...connaissez vous un programme pour faire de jolis schémas comme mécano41 ??

Bonjour,

Le croquis est simplement fait à l'aide de l'outil de dessin de WORD ou d'EXCEL ...

Pour compléter ce dessin, ce que je te suggérais était :








Cordialement

[invite64e915d8]

J'ai un peu trafiqué ton schéma mécano

Le triangle entouré en rouge est considéré comme un triangle élémentaire dont la base est dx et la hauteur, en suivant la courbe de la sphère, est pi*R/2.

Sinon petite parenthèse, lorsqu'on calcule des intégrales doubles ou triples, cela revient simplement a une multiplication d'intégrale ?

[Flyingsquirrel]

Je n'ai étudié que la géométrie euclidienne dans mon cursus et ne me suis que très peu lancé dans la topologie mais l'aire d'un triangle courbe se calcule-t-elle de la même manière qu'un triangle plan ?

Pas vraiment, l'aire d'un triangle sphérique d'angles , et est , étant le rayon de la sphère. On peut trouver une démonstration (simple) pages 151-152 du livre de géométrie de Michèle Audin (accessible en ligne ici). Accessoirement cette formule peut servir à démontrer la formule d'Euler () qui relie le nombre de faces, le nombre d'arêtes et le nombre de sommets des polyèdres convexes (pages 153-154 du même livre).

[Bruno]

J'ai un peu trafiqué ton schéma mécano

Le triangle entouré en rouge est considéré comme un triangle élémentaire dont la base est dx et la hauteur, en suivant la courbe de la sphère, est pi*R/2.

Dans ce cas, tu es d'accord que ? Et donc ton intégrale devient : avec et là on ne s'en sort plus

Sinon petite parenthèse, lorsqu'on calcule des intégrales doubles ou triples, cela revient simplement a une multiplication d'intégrale ?

Non. Sous certaines conditions (cfr Théorème de Fubini) on peut se ramener à des intégrales simples emboitées.

[invite64e915d8]

Je ne comprend pas comment tu obtiens une forme aussi compliquée de h Il s'agit juste du quart de la circonférence de la sphère donc

[Bruno]

Je ne comprend pas comment tu obtiens une forme aussi compliquée de h

C'est la formule de la hauteur dans un triangle isocèle

Il s'agit juste du quart de la circonférence de la sphère donc

Ce qui est donc en contraction avec la hauteur dans un triangle "plat". En conclusion, c'est pas un triangle plat et tu ne peux donc pas utiliser la formule base x hauteur/2. Cfr l'air d'un triangle sphérique dans le post de Flyingsquirrel.