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aire d'une sphère



  1. #1
    mathématix

    aire d'une sphère


    ------

    bonjour,

    je me pose une question à propos de l'aire d'une sphère par calcul intégral

    j'ai vu avant le supérieur que le volume pouvait se calculer en faisant une rotation autour de l'axe Ox.

    Malgrès que je comprend la méthode intégrale double en coordonée polaire;
    je me demande pourquoi on ne sait pas le faire en cartésien pour l'aire en faisant aussi une rotation autour de l'axe ( sans élever au carré, en multipliant par 2 pi seulement)

    car je me représente des bandes d'aires cylindriques comme le volume (mais ici c'est l'aire) je fais la somme et je vois que l'intégrale pourrait s'écrire comme je pense. Je sais que c'est faux.

    Mais pourquoi?

    voilà, merci de m'éclairer un peu

    cordialement,

    mathématix

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    cedbont

    Re : aire d'une sphère

    Bonjour,
    je ne comprends pas ton problème : pour moi on peut faire la somme grâce à une rotation autour d'un axe (comme tu dis).
    Tu as l'aire qui est égale à :
    A = int(int(R.d.cos.R.d))
    Tu intègres par rapport à et tu peux ensuite faire la somme grâce à une rotation autour d'un axe (comme tu dis) :
    A = R².2.int(d)
    A = R².2.2

  4. #3
    Taar

    Re : aire d'une sphère

    Salut.

    Une des raisons pour expliquer pourquoi ça marche avec le volume et pas avec l'aire est contenue dans la figure attachée.

    Volume.

    Le volume de la portion de boule (en noir) est compris entre le volume en bleu et le volume en rouge. Quand on additionne les volumes rouges et qu'on fait tendre la hauteur vers 0 on trouve . Même chose quand on additionne les volumes bleus. D'où le volume de la sphère.

    Le raisonnement s'apparente :
    • à deux sommes de Riemann pour la même intégrale
    • à deux méthodes des rectangles dont les intégrales encadrent l'intégrale considérée, et pour lesquelles la différence des intégrales tend vers 0 quand le pas tend vers 0

    Aire.

    Par contre, l'aire de la portion de sphère en noir n'est pas comprise entre l'aire latérale du cylindre bleu et du cylindre rouge (à vue de nez elle est plus grande que les deux). Donc on ne peut pas raisonner de la même façon.

    D'ailleurs l'aire trouvée en faisant tendre le pas vers 0 est dans les deux cas (rouge et bleu). C'est effectivement plus petit que la valeur attendue.

    Taar
    Images attachées Images attachées  

  5. #4
    mathématix

    Re : aire d'une sphère

    bonjour,

    Merci Taar de ta réponse, en fait je retombais sur une intégrale identique à celle de l'aire du cercle multiplié par 2pi et c'est pas l'aire de la sphère .

    Alors je comprenais pas maintenant ca va.

    Merci
    cordialement,

    mathématix

  6. A voir en vidéo sur Futura

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