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Inégalité



  1. #1
    mimo13

    Inégalité


    ------

    Bonjour

    Je voudrais consacrer ce fil pour quelques inégalités olympiques que je traite pendant ces vacances.

    En voici une qui me pose un problème.
    En réalité c'est pas vraiment un problème juste que ma réponse tiens en une ligne tandis que dans un corrigé que j'ai trouvé en fouillant sur le net une réponse compte en 12 lignes avec plein de changement de variables !!!
    C'est peut-être moi qui dit des bêtises a vous de voir !!

    Soient a,b,c les longueurs des cotés d'un triangle:
    Prouver que

    Il est immédiat que:




    Merci

    -----

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Inégalité

    Salut,
    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    Il est immédiat que:
    Et comment fais-tu pour conclure ?

    Edit : Par « conclure » j'entends « montrer que ».
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 21/12/2009 à 14h09.

  4. #3
    mimo13

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Salut,

    Et comment fais-tu pour conclure ?

    Edit : Par « conclure » j'entends « montrer que ».
    Oups Oups Je n'ai rien dis !!!
    J'avais vu les racines de a, b et c et j'ai même pas fait attention au sens de l'inégalité

    Merci Flyingsquirrel

  5. #4
    mimo13

    Re : Inégalité

    Bon c'est résolu.

    Il suffit de poser .
    Passons à autre chose.

    Celle-ci me pose un large problème :
    Soient trois réels strictement positifs tq
    Prouver que .

  6. #5
    Thorin

    Re : Inégalité

    Tu peux le faire via l'analyse élémentaire : dérivation, tableau de signe, ...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    Bon c'est résolu.

    Il suffit de poser .
    .
    salut mimo,
    je n'ai pas compris comment ce changement t'amène directement.
    pardon , mais j'ai un peu cherché tout à l'heure, en revenant d'abord à 2 variables, puis en derivant.

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  10. #7
    mimo13

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    salut mimo,
    je n'ai pas compris comment ce changement t'amène directement.
    pardon , mais j'ai un peu cherché tout à l'heure, en revenant d'abord à 2 variables, puis en dérivant.
    En effectuant le changement de variables proposé, on a:



    Après il suffit de savoir que: .

    Ce qui donne .

    Puis on refait l'opération trois fois et on somme ce qui donne l'inégalité désirée.

    Tu peux le faire via l'analyse élémentaire : dérivation, tableau de signe, ...
    Tu veut dire en plaçant une fonction à 3 variables ??

    Merci

  11. #8
    Thorin

    Re : Inégalité

    Déjà, on remplace z par 1-x-y ; ensuite, on fixe y, et on prend la fonction qui à x associe (1+1/x)(1+1/(1-x-y))(1+1/y), on l'étudie pour avoir son minimum, et on trouve donc un g(y), qui est tel que pour tout x,. on étudie ensuite la fonction g ainsi définie, et on trouve son minimum, qui se trouve être atteint lorsque y=1/3, on a alors x=1/3 (car le minimum de est atteint en x=(1-y)/2), et z=1/3
    Finalement, le résultat tombe.
    NB : avec un logiciel de calcul formel, les calculs, à première vue un peu rébarbatif prennent 20secondes...

    Il y a sans nul doute bien d'autres moyens d'arriver à la conclusion, tels que remplacer les lettres par leurs moyennes, utiliser diverses inégalités de moyennes, ou Cauchy Schwarz, bien sûr, et sans nul doute plus rapides...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  12. #9
    ansset

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    En effectuant le changement de variables proposé, on a:



    Après il suffit de savoir que: .

    Ce qui donne .

    Puis on refait l'opération trois fois et on somme ce qui donne l'inégalité désirée.



    Tu veut dire en plaçant une fonction à 3 variables ??

    Merci
    NAN, ça marche Pas !
    déjà il faut minimiser la somme des rac(x)+rac(y)+rac(z)
    pas de maximiser.
    mais bon, ça doit être une erreur de frappe.

    ensuite , tu fais une erreur d'un facteur 2 ( multiplication ).
    2x(x+y)=4b
    donc tu retrouves ton explication initiale.

    je crois que la demonstration est plus compliquée, d'ailleurs si a=b=c on retrouve une parfaite égalité entre les termes.
    si a=b diff de c , on peut le montrer aussi .
    Dernière modification par ansset ; 21/12/2009 à 20h20.

  13. #10
    mimo13

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    En effectuant le changement de variables proposé, on a:



    Après il suffit de savoir que: .

    Ce qui donne .

    Puis on refait l'opération trois fois et on somme ce qui donne l'inégalité désirée.



    Tu veut dire en plaçant une fonction à 3 variables ??

    Merci

    Non c'est correct. C'est moi qui est fait une erreur ici. Je m'excuse.

    C'est bien .

  14. #11
    MMu

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    Bon c'est résolu.

    Il suffit de poser .
    Passons à autre chose.

    Celle-ci me pose un large problème :
    Soient trois réels strictement positifs tq
    Prouver que .
    Pour celle qui te pose problème il suffit de voir que la fonction est convexe. La généralisation est immédiate :



  15. #12
    mimo13

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par MMu Voir le message
    Pour celle qui te pose problème il suffit de voir que la fonction est convexe. La généralisation est immédiate :


    Très jolie ton idée.

  16. Publicité
  17. #13
    mimo13

    Re : Inégalité

    En voici une autre:

    Soient des réels strictement positifs tel que .
    Prouver que .


     Cliquez pour afficher


    La ça doit être bon .

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