Inégalité

[invitebe08d051]

Bonjour

Je voudrais consacrer ce fil pour quelques inégalités olympiques que je traite pendant ces vacances.

En voici une qui me pose un problème.
En réalité c'est pas vraiment un problème juste que ma réponse tiens en une ligne tandis que dans un corrigé que j'ai trouvé en fouillant sur le net une réponse compte en 12 lignes avec plein de changement de variables !!!
C'est peut-être moi qui dit des bêtises a vous de voir !!

Soient a,b,c les longueurs des cotés d'un triangle:
Prouver que

Il est immédiat que:




Merci
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Il est immédiat que:

Et comment fais-tu pour conclure ?

Edit : Par « conclure » j'entends « montrer que ».

[invitebe08d051]

Salut,

Et comment fais-tu pour conclure ?

Edit : Par « conclure » j'entends « montrer que ».

Oups Oups Je n'ai rien dis !!!
J'avais vu les racines de a, b et c et j'ai même pas fait attention au sens de l'inégalité

Merci Flyingsquirrel

[invitebe08d051]

Bon c'est résolu.

Il suffit de poser .
Passons à autre chose.

Celle-ci me pose un large problème :
Soient trois réels strictement positifs tq
Prouver que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Tu peux le faire via l'analyse élémentaire : dérivation, tableau de signe, ...

[invite51d17075]

Bon c'est résolu.

Il suffit de poser .
.

salut mimo,
je n'ai pas compris comment ce changement t'amène directement.
pardon , mais j'ai un peu cherché tout à l'heure, en revenant d'abord à 2 variables, puis en derivant.

[invitebe08d051]

salut mimo,
je n'ai pas compris comment ce changement t'amène directement.
pardon , mais j'ai un peu cherché tout à l'heure, en revenant d'abord à 2 variables, puis en dérivant.

En effectuant le changement de variables proposé, on a:



Après il suffit de savoir que: .

Ce qui donne .

Puis on refait l'opération trois fois et on somme ce qui donne l'inégalité désirée.

Tu peux le faire via l'analyse élémentaire : dérivation, tableau de signe, ...

Tu veut dire en plaçant une fonction à 3 variables ??

Merci

[invitec317278e]

Déjà, on remplace z par 1-x-y ; ensuite, on fixe y, et on prend la fonction qui à x associe (1+1/x)(1+1/(1-x-y))(1+1/y), on l'étudie pour avoir son minimum, et on trouve donc un g(y), qui est tel que pour tout x,. on étudie ensuite la fonction g ainsi définie, et on trouve son minimum, qui se trouve être atteint lorsque y=1/3, on a alors x=1/3 (car le minimum de est atteint en x=(1-y)/2), et z=1/3
Finalement, le résultat tombe.
NB : avec un logiciel de calcul formel, les calculs, à première vue un peu rébarbatif prennent 20secondes...

Il y a sans nul doute bien d'autres moyens d'arriver à la conclusion, tels que remplacer les lettres par leurs moyennes, utiliser diverses inégalités de moyennes, ou Cauchy Schwarz, bien sûr, et sans nul doute plus rapides...

[invite51d17075]

En effectuant le changement de variables proposé, on a:



Après il suffit de savoir que: .

Ce qui donne .

Puis on refait l'opération trois fois et on somme ce qui donne l'inégalité désirée.



Tu veut dire en plaçant une fonction à 3 variables ??

Merci

NAN, ça marche Pas !
déjà il faut minimiser la somme des rac(x)+rac(y)+rac(z)
pas de maximiser.
mais bon, ça doit être une erreur de frappe.

ensuite , tu fais une erreur d'un facteur 2 ( multiplication ).
2x(x+y)=4b
donc tu retrouves ton explication initiale.

je crois que la demonstration est plus compliquée, d'ailleurs si a=b=c on retrouve une parfaite égalité entre les termes.
si a=b diff de c , on peut le montrer aussi .

[invitebe08d051]

En effectuant le changement de variables proposé, on a:



Après il suffit de savoir que: .

Ce qui donne .

Puis on refait l'opération trois fois et on somme ce qui donne l'inégalité désirée.



Tu veut dire en plaçant une fonction à 3 variables ??

Merci

Non c'est correct. C'est moi qui est fait une erreur ici. Je m'excuse.

C'est bien .

[invite3240c37d]

Bon c'est résolu.

Il suffit de poser .
Passons à autre chose.

Celle-ci me pose un large problème :
Soient trois réels strictement positifs tq
Prouver que .

Pour celle qui te pose problème il suffit de voir que la fonction est convexe. La généralisation est immédiate :

[invitebe08d051]

Pour celle qui te pose problème il suffit de voir que la fonction est convexe. La généralisation est immédiate :

Très jolie ton idée.

[invitebe08d051]

En voici une autre:

Soient des réels strictement positifs tel que .
Prouver que .

 Cliquez pour afficher

Par symétrie des rôles, on peut supposer que .
Par suite on a .

Donc

D'après l'inégalité du réordonnement :

Donc tout revient à montrer que ce qui est immédiat grâce à l'inégalité de Chebyshev.

La ça doit être bon .