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Inégalité



  1. #1
    b.s.o

    Inégalité


    ------

    Prouver l'inégalité suivante pour tous a,b,c strictement positif :



    juste une indication si possible merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    hhh86

    Re : Inégalité

    Citation Envoyé par b.s.o Voir le message
    Prouver l'inégalité suivante pour tous a,b,c strictement positif :



    juste une indication si possible merci d'avance
    Pas très facile.
    J'ai réussi à le démontrer. Tu peux pour cela essayer de trouver quand l'expression de droite est minimale en fonction des valeurs de b.
    Pour cela tu dérives l'expression en fonction de b et tu dois retomber sur une équation du second degré.
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  4. #3
    hhh86

    Re : Inégalité

    En fait c'est même un peu plus compliqué que cela. Mais bon tu ne veux pas la réponse donc je te donnes la démarche exacte à suivre :
    Pour que ce soit un peu plus clair, on pose b=x.
    On cherche x telle que l'expression de droite soit minimale. On note f la fonction qui à x associe l'expression de droite.
    Tu peux dériver l'expression et trouver où la dérivée s'annule pour x>0 (il n'y a qu'une seule valeur pour x>0). Notons cette valeur k
    Tu en déduis que ta fonction est strictement monotone sur ]0;k] et sur [k;+inf[
    Ensuite tu montres que f est strictement décroissante sur ]0;k] en calculant la limite en 0 de f(x) et en calculant f(k) en montrant que f(0)>f(k) (comme f est strictement monotone sur ]0;k] la conclusion est imédiate)
    Ensuite tu montres que f est strictement croissante sur [k;+inf[ en calculant la limite en +inf et en montrant que f(k)<lim(x-->+inf)(f(x)) (comme f est strictement monotone sur [k;+inf[ la conclusion est imédiate)
    Tu peux donc en déduire que pour tout x>0, f(x)>=f(k)
    La démonstration s'achève ici
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Inégalité

    Bien vu ! En plus, ça donne le cas d'égalité.

  6. #5
    hhh86

    Re : Inégalité

    merci jeanpaul ^^
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    -Zweig-

    Re : Inégalité

    Salut,

    Une démonstration encore plus simple ...

    On considère les points A, B, C et D tels que , .

    D'après la relation d'Al-Kashi :

    , et

    Or d'après l'inégalité triangulaire :



    D'où l'inégalité désirée.
    L’homme n’est ni ange ni bête, et le malheur veut que qui veut faire l’ange fait la bête.

  9. Publicité
  10. #7
    -Zweig-

    Re : Inégalité

    J'oubliais : les points sont tels qu'ils forment deux triangles accolés ADB et BCD, avec BD = b, AD = a et DC = c.
    L’homme n’est ni ange ni bête, et le malheur veut que qui veut faire l’ange fait la bête.

  11. #8
    hhh86

    Re : Inégalité

    oui effectivement, il fallait y penser ^^
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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