Bonsoir,
Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre a.
En fait, dans l'exercice, T est un temps de survie d'une cellule.
Sachant que la cellule a déjà survécue k jours, on me demande "quelle est son espérance de vie supplémentaire" ?
La loi exponentielle étant sans mémoire, je répondrais instinctivement : aucune. Mais comment le démontrer rigoureusement ?
D'avance merci
Je me permet de remonter mon sujet,
Bonjour,Envoyé par Guillaume69
La question est de savoir combien de temps après k en moyenne la cellule va survivre. En terme mathématique, cela s'écrit.
Il faut maintenant utiliser le fait que T est sans mémoire pour pouvoir calculer cette expression.
La réponse n'est pas "aucune".
Je me doutais que cela ferait intervenir l'espérance conditionnelle... Mais je ne l'ai jamais vu en cours (complètement hors programme), je n'en connais donc qu'une définition archi simple :
Je ne comprends donc pas :
*Pourquoi tu écris T\leq k au lieu de T = k
*Comment appliquer cette définition au cas Y = T-k. Que vaut y ? que vaut f(y, k) ?
Enfin, n'y a t-il pas une méthode autre ? Même venant de prépa, je n'ai jamais vu ça... Il est donc étonnant qu'une question traite de cette notion (la plupart viennent de la fac et ont vaguement fait quelques maths il y a deux ans, plus depuis : ils ne savent même pas intégrer).
il n'y a pas d'autre méthode. Quand tu lis "sachant que..." tu dois penser loi conditionnelle ou espérance conditionnelle. Tu peux toujours te référer à la propriété d'être "sans mémoire" de la loi exponentielle, mais cette expression n'est qu'une formulation floue du résultat que tu dois démontrer.
la densité conditionnelle de X sachant X>a est
Merci ambrosio.
Comme je l'ai dit, je n'ai jamais eu de cours sur l'espérance conditionnelle, j'ai donc un peu de mal à voir où vous voulez en venir.
Je cherche l'espérance de survie d'une cellule sachant qu'elle a déjà survécue k jours :
Ce qui me parait surprenant... Je pensais trouver 1/a. Je suppose que je me suis trompé dans les bornes de mon intégrale ?
non le calcul est bon. L'espérance de vie "supplémentaire" ou "résiduelle", c'est le temps qu'il reste à vivre après l'âge k, c'est donc E(X-k|X>k)=E(X|X>k)-k , c'est donc bien 1/a+k-k = 1/a
Merci bien
Une dernière question à propos de deux généralisations. Ces deux propositions sont elles vraies ? (je n'arrive pas à avoir de réponse sûre, car le livre à peu près accessible que j'ai trouvé reste fait pour des matheux)
(1) Soient
(2) Soient X une variable à densité de densité
Je remonte mon sujet pour ma dernière question.
