puissance 2

[invite79444c03]

comment montrer que tout entier p>0 s'écrit de façon unique comme somme de puissance de 2(1,2,4,8,16,32,......)
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[Thorin]

tu peux montrer l'existence par récurrence, en séparant, dans l'hérédité, le cas où n est pair, et où n est impair (me semble-t-il).

tu peux montrer l'unicité en te donnant deux décompositions différentes d'un même entier, en soustrayant les termes qui sont les mêmes des deux cotés, et en divisant ensuite par 2. on aura d'un coté un pair, de l'autre un impair.

[mimo13]

As-tu pensé à utiliser les valuations p-adiques ??

[breukin]

J'imagine qu'une puissance de 2 ne doit pas apparaître 2 fois ou plus ?
Parce que 5 = 4+1 = 2+2+1.

Mais en fait, ne sait-on pas que tout nombre entier possède une et une seule représentation dans une base b, entier >1 ?

avec et à partir d'un certain rang.
Ici, b=2, et donc ou .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

J'imagine qu'une puissance de 2 ne doit pas apparaître 2 fois ou plus ?
Parce que 5 = 4+1 = 2+2+1.

Mais en fait, ne sait-on pas que tout nombre entier possède une et une seule représentation dans une base b, entier >1 ?

avec et à partir d'un certain rang.
Ici, b=2, et donc ou .

je pense que le but est justement de montrer l'existence et l'unicité de l'écriture en binaire sinon, c'est un peu trop facile, quand même...

[Médiat]

avec et à partir d'un certain rang.

[Mode Maniaque On]
Le maniaque que je suis (certains disent chi**t, ou rigoureux ) n'aime pas les sommes infinies (mais je n'ai rien contre les limites de sommes), et je préfère écrire :



Cette majoration de la borne supérieure de la sommation est loin d'être optimum, mais elle est simple et évite l'infini (et du coup inutile de préciser que les coefficients sont tous nuls à partir d'un certain rang.

[\Mode Maniaque Off]