Simplification de produits

[Sup35]

Bonjour

J'ai un DL à rendre pour la rentrée et je bloque sur deux petites questions.
La question est de simplifier les expressions Pn et Qn (probablement trouver une formule qui permet d'obtenir Pn n )



J'ai développé le premier, Pn, et je constate que:
P2 = 3/4
P3 = 2/3
P4 = 5/8
.
.
.
Pn = 3/4 * 2/3 * 5/8 * ... * (1 - 1/n²)

Je pense qu'il faut procéder en démontrant par récurrence une formule (à base de factorielles peut être) qui puisse permettre d'obtenir Pn n

Pour Qn, je n'ai encore rien tenté mais je vais essayer tout de suite ...
Merci d'avance
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[invitea250c65c]

Bonjour,

J'ai un DL à rendre pour la rentrée ...

Encore un pauvre prépa martyrisé à coups de dévellopements limités .

Pour le premier, tu peux écrire et ton produit s'écrit comme produit de deux produits télescopiques ...

Pour le second, tu peux tout mettre au même dénominateur, reconnaitre une jolie formule, puis simplifier les coeff binomiaux (les écrire avec des factorielles). Tu obtiens une expression beaucoup plus simple, après si le résultat ne saute pas aux yeux écris le produit avec des ... et les premiers et derniers termes et tu verras après comment rédiger ca plus proprement.

Bonne chance, joyeuses fêtes et bon courage pour la suite.

[Sup35]

Merci pour ta réponse

En fait, j'ai eu le temps d'avancer et, pour Pn, j'ai réussi à démontrer par récurrence la formule Pn = (n+1)/2n, qui permet d'obtenir Pn donc, quelque soit n appartenant à N.

Pour Qn, j'avais fait ce que tu as dit, et je suis tombé sur ceci:



Mais là je bloque un petit peu. J'essaie de calculer les 3 ou 4 premiers termes mais, honte à moi, je suis planté dessus (la fatigue des fêtes surement xD)

Bonne fêtes à toi aussi

[Sup35]

Bon, pour moi, la relation ci dessus (Qn = produit de (n+1)/(n-k)) est égale à n!

Ainsi: Qn = n!

Ca vous parait correct ? Avant que je me lance dans la démonstration ... ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sup35]

Ah bah non, en fait ça marche po

[Flyingsquirrel]

Bonjour,

Sup35, merci d'éviter de mettre dans tes messages des images hébergées sur des serveurs extérieurs ; utilise plutôt le système de pièces jointes (voir ce fil pour les raisons et les explications). En l'occurrence il vaudrait même mieux que tu te serves de LaTeX pour écrire tes formules.

Pour la modération, Flyingsquirrel.

[Sup35]

D'accord, désolé. Je vais faire ça de suite. Par contre, le Latex, je ne sais vraiment pas m'en servir

[Sup35]

Pour ma question, en fait je trouve Qn = (n+1)/n!
Mais le problème c'est que lorsque je vérifie (calcule de Q2), je trouve Q2 = 9/2 avec la formule initiale de Qn, et avec la mienne (Qn = (n+1)/n!) je trouve 3/2. Pourtant je suis sur à 99% de moi.
Mais le résultat n'est pas en accord

[Sup35]

J'ai refait tous mes calculs, et je suis sur à 100 % que Qn = (n+1)/n!
Y a pas d'erreur possible, c'est forcément ça

[Médiat]

J'ai refait tous mes calculs, et je suis sur à 100 % que Qn = (n+1)/n!
Y a pas d'erreur possible, c'est forcément ça

J'ai refais les calculs et je trouve : "pas pareil que vous" (mais presque : la mise en facteur dans un produit )
En tout état de cause Q₂ = 9/2

[Sup35]

Oui, en fait je me suis encore trompé. Qn est en fait égal à:
[(n+1)^n]/n!
Et effectivement, on trouve les bons résultats donnés par la formule initiale de Qn

[Sup35]

la mise en facteur dans un produit )

Où est le problème ?

[invitebe08d051]

Où est le problème ?

C'est comme si tu disais que .
Ce qui n'est pas très logique à mon avis...

[Médiat]

Où est le problème ?

dans l'expression , on peu mettre (n-1) "en facteur" pour trouver , et j'ai eu le sentiment que vous aviez fait la même chose pour le produit, d'où l'oubli de la puissance n.

[Sup35]

A oui d'accord. J'avais tout bêtement oublié qu'il s'agissait d'un produit. D'où l'exposant

Bon voilà, sujet résolu.
Mais à tous pour votre participation