suite, isomorphisme

[invite2df9dfca]

bonsoir,

On a l'ensemble E={(un) appartient à C, pour tout entier naturel n un+3=(un+2+un+1+un)/3} (E est un C espace vectoriel)
f est l'application de E dans C3 définie par f((un))=(u0,u1,u2)
Il faut montrer que f est un ismorphisme de E dans C3.
f linéaire : ok
pour montrer que f est bijective il suffit de dire qu'une suite est entierement déterminée par ses 3 premiers termes. Je ne vois pas complètement le rapport ...je ne comprend pas bien l'expression de f; puisque (u0,u1,u2) ne dépend pas de n pourquoi n'y aurait-il pas plusieurs antécédents .. ??
merci beaucoup
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[invite1228b4d5]

Bonsoir

il s'agit d'un problème linéaire. Et ici, les vecteurs sont les suites (les suite en entier, par le p-ième terme)
Vous travailler sur n Cev de dimension 3. Donc, de dimension fini. Pour montrer que f est bijectif, essayer de trouver son noyau

[invite2df9dfca]

Dans la correction on me dit simplement qu'une suite (un) est entierment déterminée par ses 3 premiers termes, donc par u0,u1,u2 d'ou f bijective...

Sinon avec le noyau et l'image par récurrence on a bien Kerf =0E
mais pour l'image ....?

[invite1228b4d5]

pourquoi s'interesser à l'image ?
si le noyau est reduit à 0 en dimension fini, l'application est un isomorphime (kerf={0} => f injective => f bijective en dim fini)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2df9dfca]

ok merci beaucoup.

[invite14e03d2a]

Bonsoir,

je ne comprend pas bien l'expression de f; puisque (u0,u1,u2) ne dépend pas de n pourquoi n'y aurait-il pas plusieurs antécédents .. ??

Mais (u_n) ne dépend pas de n! Avec les parenthèses, la notation ne désigne pas le n-ème terme mais la suite elle-même, ie l'application de dans

pourquoi s'interesser à l'image ?
si le noyau est reduit à 0 en dimension fini, l'application est un isomorphime (kerf={0} => f injective => f bijective en dim fini)

L'équivalence en dimension finie entre injective, surjectivité et (donc) bijectivité n'est vraie que pour les endomorphismes.
Il faut donc avoir montré par ailleurs que E est de dimension même dimension que C³. Mais c'est peut-être le but de l'exercice! (dans le cas contraire, ma remarque n'a pas d'intêret)

Cordialement

[invite2df9dfca]

il faut donc ajouter que puisque les suites de E sont entierement déterminées par leur 3 premiers termes(qui forment une famille libre) E est de dimension 3 comme C3.

[invite14e03d2a]

il faut donc ajouter que puisque les suites de E sont entierement déterminées par leur 3 premiers termes(qui forment une famille libre) E est de dimension 3 comme C3.

J'ai un peu l'impression qu'on tourne en rond: ton "entierement determinees" suggère que f est un isomorphisme, ce qui est le but de l'exercice!

Une idée de rédaction (sans présupposé de la dimension de E):

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1) On montre que f est linéaire. Tu as su le faire.
2) On montre que f est injective. Soit u=(u_n) une suite de E telles que f(u)=(0,0,0). On montre que u=0 (la suite constante égale à 0). La démonstration se fait par récurrence (ce que tu as fait je crois)
3) On montre que f est surjective. Soit (a,b,c) élément de . Existe-t-il un élément u de E tel que f(u)=(a,b,c)? La réponse est clairement oui, donc f est surjective.
4) Conclusion: f est un isomorphisme.

Corollaire: E et sont de même dimension, à savoir 3.

Cordialement

[invite2df9dfca]

ok merci beaucoup.