Bonjour,
J'ai une petite question, est ce qu'une application linéaire est également un morphisme ? L'inverse je ne pense pas.
Je pose cette question car on note souvent soit u (appartenant à) L(E) (l'ensemble des applications linéaires de E dans E) et puis par la suite on appel u un morphisme.
Merci d'avance.
Salut!
morphisme est un terme générale désignant une application entre deux structures (groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels, etc...) préservant cette structure. On parle donc de morphismes de groupes, de morphismes d'anneaux, de morphismes de fibrés, de morphismes d'espaces vectoriels, etc...
Souvent, comme le contexte est clair, on écrit seulement morphisme.
Dans le cas des espaces vectoriels, on utilise aussi le terme "application linéaire" qui est exactement la même chose que "morphisme d'espaces vectoriels"
Bien sûr, un espace vectoriel étant a fortiori un groupe, une application linéaire est aussi un morphisme (de groupes). Le contraire n'est pas vrai.
Cordialement
Merci beaucoup.
Bonjour,
Je sais bien, malheureusement, que vous avez raison en commençant votre phrase pas "On parle" (et que votre réponse est parfaitement adaptée à la question), mais c'est un abus de langage, par absence de langage (un exploit rhétoriqueEnvoyé par taladris
) :
La notion de morphisme (vous ne vous êtes pas placé explicitement dans la théorie des catégories, je fais donc de même, et me place en logique classique) ne fait intervenir que le langage et pas les axiomes (dans la théorie des catégories, la situation est tout autre).
Par exemple si je vous donne deux structures inteprétant toutes les deux un certain langage L(0, +, .) et une application entre ces deux structure, aurez vous besoin d'autres informations (ou de faire d'autres démonstrations sur les structures elles-mêmes) pour montrer que l'application est un morphisme ?
Signé : le maniaque (ou le ch**nt, ou le rigoureux)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pas sûr d'avoir compris. On a besoin des axiomes de groupes (par exemple) pour dire qu'un morphisme de groupes est bien défini,non?
OulahPar exemple si je vous donne deux structures inteprétant toutes les deux un certain langage L(0, +, .) et une application entre ces deux structure, aurez vous besoin d'autres informations (ou de faire d'autres démonstrations sur les structures elles-mêmes) pour montrer que l'application est un morphisme ?J'ai peur que mes connaissances soient insuffisantes.
Auriez-vous un exemple un peu plus explicite?
C'est un QCM? un sondage? Dans ce cas, je choisis "le rigoureux"Signé : le maniaque (ou le ch**nt, ou le rigoureux
Je peux donner un exemple qui répond aux deux questions :Pas sûr d'avoir compris. On a besoin des axiomes de groupes (par exemple) pour dire qu'un morphisme de groupes est bien défini,non?
Oulah
Auriez-vous un exemple un peu plus explicite?
Soitune structure muni d'une opération interne (je ne présume pas de ses propriétés).
Soit
Et soit f une application de A dans B, f est un morphisme ssi :
dans cette définition les propriétés des deux opérations (qui sont des fonctions) n'interviennent jamais (à part leur nature (fonction, relation ou constante)). Je trouverais un peu dommage de baptiser cela "morphisme de groupe" alors que peut-être ces opérations ne sont même pas associatives.
C'est aussi celui que je choisis, mais généralement je suis le seulC'est un QCM? un sondage? Dans ce cas, je choisis "le rigoureux"
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On pourrait appeler ça "morphisme de magma" alorsJe peux donner un exemple qui répond aux deux questions :
Soit
Soit
Et soit f une application de A dans B, f est un morphisme ssi :
dans cette définition les propriétés des deux opérations (qui sont des fonctions) n'interviennent jamais (à part leur nature (fonction, relation ou constante)). Je trouverais un peu dommage de baptiser cela "morphisme de groupe" alors que peut-être ces opérations ne sont même pas associatives.
C'est la même différence qu'entre morphisme de corps et morphisme d'anneaux.
L'idée, c'est que, comme les propriétés des éléments du langage (c'est à dire des axiomes de la théorie) n'ont aucun impact sur la définition du morphisme, autant ne pas les faire apparaître (évidemment, dans le cas du magma, comme il n'y a pas d'axiomeOn pourrait appeler ça "morphisme de magma" alors
C'est la même différence qu'entre morphisme de corps et morphisme d'anneaux.
On pourrait alors écrire la définition du morphisme de la façon suivante :
Et soit f une application de A dans B, f est un morphisme ssi :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je débarque tard pour apporter un point de vue plus catégoriel.
En théorie des catégories, la notion de morphisme est primitive, c.-à-d. qu'on ne la définit pas vraiment. Elle apparaît d'abord dans la définition d'une catégorie comme étant la donnée d'une classe d'objets, et d'une classe de morphismes entre ces objets. Un morphisme f entre deux objets A, B d'une catégorie se note A
La définition d'une catégorie impose des conditions auxquelles les morphismes satisfont :
- Pour tout objet A, il y a un morphisme A
- Deux morphismes f:A
- La composition ci-dessus est associative : (hg)f = h(gf).
À partir de là, on peut donner des exemples de catégories issus de la pratique courante des mathématiques :
- La catégorie Ens dont les objets sont les ensembles, et les morphismes sont les fonctions (ensemblistes).
- La catégorie VectKdont les objets sont les espaces vectoriels sur un corps K fixé, et les morphismes sont les applications linéaires.
- La catégorie Grp dont les objets sont les groupes, et les morphismes sont les homomorphismes de groupes.
- La catégorie Banzai dont les objets sont les groupes, et les morphismes sont les fonctions entre les ensembles sous-jacents aux groupes.
- La catégorie G où il n'y a qu'un seul objet
- La catégorie Grp2 dont les objets sont les morphismes dans Grp entre deux groupes, et dont les morphismes sont des diagrammes commutatifs de la forme :
Remarquons que dans la catégorie Banzai, les morphismes ne préservent pas la structure de groupe. Dans Grp2, les morphismes ne sont pas des fonctions. Dans G, les morphismes sont carrément des éléments d'une structure, plutôt qu'une fonction entre structures.
Du point de vue de la théorie des catégories, il est donc erroné de dire que les morphismes sont des fonctions qui préservent la structure. Il est vrai que toute telle fonction est un morphisme dans une certaine catégorie (dite "concrète"), mais la notion de morphisme est plus générale et plus faible. Intuitivement, un morphisme n'est rien d'autre que sa représentation graphique, c.-à-d. une flèche entre deux objets d'une même catégorie. D'ailleurs, "flèche" et "morphisme" sont synonymes...
Pour terminer, certains morphismes sont appelés "isomorphismes". Pour un tel morphisme f, il existe un morphisme g tel que fg et gf sont le morphisme identité (sur l'objet adéquat). La notion d'isomorphisme repose sur celle de morphisme, et exprime l'idée que deux objets sont "essentiellement identiques" (je laisse les guillemets). Par exemple, deux ensembles ayant le même nombre d'éléments sont isomorphes, même si le premier est un ensemble d'oranges et le second un ensemble de pommes.
Tout ce qui précède ne fait appel à aucun moment aux structures mathématiques (ensembles + axiomes, ou + langage pour Médiat). Il m'a semblé
Bonjour.
Cette "nature" dont vous parlez n'est elle pas, dans le cas ou la relation est une application, la donnée d'un axiome (qui dit que pour tout x dans A il existe un unique y dans A tel que le point (x,y) est dans le graphe de *)?dans cette définition les propriétés des deux opérations (qui sont des fonctions) n'interviennent jamais (à part leur nature (fonction, relation ou constante)).
Bonsoir,
J'ai lu par exemple pour ce qui est appelé un morphisme d'anneaux il est toujours préserver le neutre multiplicatif tout comme le foncteur respectent les identités. Cela serait donc une propriété qui est en dehors de la définition d'un morphisme ?
Patrick
C'est en-dehors de la notion catégorielle de morphisme. Les morphismes d'anneaux dont tu parles sont en fait appelés "homomorphismes d'anneaux", ce qui permet de les distinguer des morphismes en général.
On peut définir une catégorie en prenant pour objets les anneaux, et pour morphismes les homomorphismes d'anneaux; c'est la catégorie notée Ring. Mais on aurait pu prendre autre chose comme morphismes, ce qui aurait donné une autre catégorie (à l'intérêt moindre, probablement...).
Un autre exemple de catégorie où les morphismes n'ont rien à voir avec des homomorphismes de structures est le suivant.
Soit (E,Autrement dit, l'ensemble des morphismes de A vers B se réduit à un unique élément lorsque A
- Les objets sont les éléments de E.
- Il y a un morphisme A
Ici, ça n'a rien à voir avec des homomorphismes puisque A et B ne sont même pas des structures.
Homomorphismes et foncteurs sont des cas particuliers de morphismes, mais il y a des morphismes qui n'ont pas cette propriété de "préserver les identités/neutres/...".
Ok
Cela ne semble pas se démontrer à partir des propriétés définissant la structure d'anneaux ?
Il faut aussi le définir tout comme pour le foncteur (Dixit Wiki En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme ) ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Morphisme#Cas_des_anneaux
Dans le cadre des anneaux unitaires, on demande en plus que
Cette dernière condition n'est pas impliquée par les deux premières (considérer l'application nulle).
Patrick
Je dirais plutôt que la notion de morphisme est plus générale : les foncteurs sont des cas particuliers de morphismes :
Au sein d'une catégorie, il y a des morphismes. Entre deux catégories, il y a des foncteurs. Mais on peut aussi considérer la catégorie dont les objets sont certaines catégories (dites "petites"), et les morphismes sont les foncteurs.
Mais il est vrai aussi que l'on peut voir certains homomorphismes comme des cas particuliers de foncteurs (par exemple, on peut voir un groupe comme une catégorie, et ainsi un homomorphisme de groupes comme un foncteur entre catégories associées). Mais ce cas me semble un peu dégénéré, la situation ci-dessus où les foncteurs sont des cas particuliers de morphismes est beaucoup plus fréquente.
